Come si possono trasformare

Ho pensato a queste domande:

Esiste un calcolo lambda tipizzato che è coerente e Turing completo?

/cs/65003/if-%CE%BB-xxx-has-a-type-then-is-the-type-system-inconsistent

e ci sono già alcune domande a cui è difficile rispondere nell'impostazione non tipizzata ! Più in particolare, sono curioso di sapere se possiamo recuperare la completezza di Turing dalla non cessazione nel modo seguente:

Domanda: Dato un (puro) $\lambda$ -termine $t$ con nessuna forma normale testa debole, fa c'è sempre esiste un combinatore a punto fisso $Y_t$ tale che
$Y_{t} (λ x . x) = t$ $Y_t\ (\lambda x.x) = t$

Le uguaglianze sono tutte prese modulo $\beta\eta$ .

In realtà sospetto che questa versione della domanda sia falsa , quindi si può rilassare la domanda ai combinatori di loop , in cui un combinatore di loop è definito come un termine tale che per ogni $Y$ $f$ dove è nuovamente necessario essere un combinatore di loop. Questo è abbastanza per definire le funzioni ricorsive come al solito, ovviamente.

Y f = f (Y^{'} f)

$Y\ f=f\ (Y'\ f)$

Y^{'}

$Y'$

Più in generale, sono interessato a trovare modi "naturali" per passare da una non terminante a un combinatore di loop, anche se l'equazione sopra non è soddisfatta. $t$

Sono anche interessato a versioni più deboli della domanda di cui sopra, ad esempio può essere considerato un'applicazione $t$ con ogni in forma normale (anche se non sono sicuro che aiuta veramente). $t\equiv t_1\ t_2\ldots t_n$ $t_i$

Finora: l'approccio naturale è quello di prendere e applicazioni "pepe" di in tutto, ad esempio, $t$ $f$

Ω := (λ x . x x) (λ x . x x)

$\Omega:=(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$

diventa il solito

Y_{Ω} := λ f . (λ x . f (x x)) (λ x . f (x x))

$Y_\Omega:= \lambda f.(\lambda x. f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))$

L'idea è di ridurre la testa di ad un'applicazione lambda $t$ e sostituirlo con , ma il passo successivo non è chiaro (e sono scettico sul fatto che questo possa portare a qualsiasi cosa). $\lambda x. t'$ $\lambda x.f\ t'$

Io non sono sicuro di aver capito abbastanza alberi Böhm per vedere se hanno qualcosa da dire, ma ne dubito fortemente, dal momento che Böhm albero s' è semplicemente , che sembra niente come quello per : un albero di infinita astrazioni. $\Omega$ $\bot$ $Y_\Omega$

Modifica : Un mio amico ha osservato che questo approccio ingenuo non funziona con il termine: L'approccio ingenuo darebbe Ma questo non è un combinatore a punto fisso! Questo può essere risolto sostituendo la seconda applicazione di con

(λ x . x x x) (λ x . x x x)

$(\lambda x.x\ x\ x)(\lambda x.x\ x\ x)$

(λ x . f (X X x)) (λ X . f (X X X))

$(\lambda x.f\ (x\ x\ x))(\lambda x.f\ (x\ x\ x))$

f

$f$

, ma poi

non dà il termine originale. Non è chiaro se questo termine sia un contro-esempio alla domanda originale (e certamente non è un contro-esempio a quella più generale).

λ y z . f y

$\lambda y z.f\ y$

f \mapsto I

$f\mapsto \mathrm{I}$

lambda-calculus combinatory-logic

— cody
fonte

Credo che il requisito che t non abbia una forma normale della testa debba essere rafforzato per escludere anche le forme normali della testa debole. Se t è in grado di produrre una lambda, allora, poiché in posizione di testa hai sempre un combinatore di punti fissi (a partire da f = id), la lambda dovrebbe essere prodotta da essa, ciò non è possibile.

— Andrea Asperti,

@AndreaAsperti hai ragione, ovviamente. Modificherò la domanda.

— cody

Ci sono molti aspetti di questa bella domanda, quindi strutturerò questa risposta di conseguenza. $\newcommand{\setof}[1]{\{#1\}}$ $\newcommand{\thra}{\twoheadrightarrow}$ $\newcommand{\codeof}[1]{\lceil #1 \rceil}$

1. La risposta alla domanda in scatola è no . Il termine suggerito dal tuo amico è davvero un controesempio. $\Omega_3 = (\lambda x.xxx)(\lambda x.xxx)$

Nei commenti si era notato in precedenza che si hanno controesempi come "l'orco" , fino a quando la domanda non si limita a termini senza forma normale testa debole. Tali termini sono noti comezero termini. Questi sono termini che non si riducono mai a un lambda, sotto qualsiasi sostituzione. $K^\infty=Y K$

Per qualsiasi combinatore a punto fisso (fpc) , $Y$ è un termine cosiddettomuto(AKA "radice attiva"): ogni sua riduzione si riduce ulteriormente ad un redex. $Y I$

non è muto; né è come si manifesta ispezionando la sua serie di riduttori, che è $K^\infty$ $\Omega_3$ $-$

{Ω_{3} \underset{k}{\underset{⏟}{(λ x . x x x) \dots (λ x . x x x)}} ∣ k \in N}

$\setof{\Omega_3 \underbrace{(\lambda x. xxx) \cdots (\lambda x. xxx)}_k \mid k \in \mathbb{N}}$

Piuttosto che dare un argomento preciso sul perché sia muto per tutti gli fpcs (in effetti, per qualsiasi combinatore di loop) $Y I$ $Y$ che può essere laborioso ma si spera abbastanza chiaro tratterò l'ovvia generalizzazione della tua domanda, limitando anche i termini muti. $-$ $-$

I termini muti sono una sottoclasse di zero termini che sono una sottoclasse di termini irrisolvibili. Insieme, queste sono forse le scelte più popolari per il concetto di "insignificante" o "indefinito" nel calcolo lambda, corrispondente rispettivamente ai banali alberi Berarducci, Levy-Longo e B \ "ohm. La grata delle nozioni di termini insignificanti è stato analizzato in dettaglio da Paula Severi e Fer-Jan de Vries. [1] I termini muti costituiscono l'elemento inferiore in questo reticolo, ovvero la nozione più restrittiva di "indefinito".

2. Sia un termine muto e sia un combinatore in loop con la proprietà che $M$ $Y$ . $YI = M$

Per prima cosa sosteniamo che, per una nuova variabile , realtà assomiglia molto alla hai descritto, ottenuta "spruzzando intorno" a una riduzione di $z$ $Yz$ $Y_M$ $z$ . $M$

Di Church-Rosser, e hanno una reduct comune, . Prendi una riduzione standard . Ogni subterma di corrisponde a un sottoterma unico di in questa riduzione. Per ogni sottoterma , i fattori come $YI$ $M$ $M'$ $R : YI \thra_s M'$ $M'$ $YI\equiv Yz[z:=I]$ $C[N]=M'$ $R$ , dove la gamba media è una riduzione della testa debole (e la gamba finale è interna). è "sorvegliato" da una se questa seconda tappa contrae del redex , con un discendente della sostituzione $YI \thra C[N_0] \thra_{wh} C[N_1] \thra_i C[N]$ $N$ $z$ $I P$ $I$ . $[z:=I]$

Ovviamente, deve proteggerne alcuni $Y$ sotterfugi di , altrimenti sarebbe anche muto. D'altra parte, bisogna fare attenzione a non proteggere quei sottoterme necessari per la non terminazione, altrimenti non potrebbe sviluppare l'infinito albero B \ "ohm di un combinatore in loop. $M$

È quindi sufficiente trovare un termine muto in cui ogni sotterfugio, di ogni redazione, è necessario per la non normalizzazione, nel senso che mettere una variabile davanti a quel sotterfugio produce un termine normalizzante.

Considera , dove . Questo è come , ma ad ogni iterazione, controlliamo che l'occorrenza di nella posizione dell'argomento non sia "bloccata" da una variabile head, fornendo un'identità. Mettere una davanti a qualsiasi sottrazione alla fine produrrà una forma normale di forma , dove ogni è , o una " $\Psi = W W$ $W = \lambda w. w I w w$ $\Omega$ $W$ $z$ $zP_1\cdots P_k$ $P_i$ $I$ $W$ $z$ prinkling" di questi. Quindi $\Psi$ è un controesempio alla domanda generalizzata.

TEOREMA. Non esiste un combinatore di loop tale che . $Y$ $YI = \Psi$

PROVA. L'insieme di tutte le riduzioni di è . Per essere convertibile con , ridurre a uno di questi. L'argomento è identico in tutti i casi; per concretezza, supponiamo che $\Psi$ $\setof{WW,WIWW,IIIIWW,IIIWW,IIWW,IWW}$ $\Psi$ $YI$ $YI \thra IIWW$ .

Qualsiasi riduzione norma $YI \thra_s IIWW$ può essere considerata come

\begin{aligned} Y I ↠_{w} P N_{4}, P ↠_{w} Q N_{3}, Q ↠_{w} N_{1} N_{2}, thus Y I ↠_{w} N_{1} N_{2} N_{3} N_{4} \\ N_{1} ↠ I, N_{2} ↠ I, N_{3} ↠ W, N_{4} ↠ W \end{aligned}

$\begin{align*} YI \thra_w P N_4, P \thra_w Q N_3, Q \thra_w N_1 N_2, \text{thus } YI \thra_w N_1 N_2 N_3 N_4\\ N_1 \thra I, N_2 \thra I, N_3 \thra W, N_4 \thra W \end{align*}$

Facciamo riferimento alla riduzione come e alle riduzioni a partire da come $YI \thra_w N_1 N_2 N_3 N_4$ $R_0$ $N_i$ $R_i$ .

Queste riduzioni possono essere aumentate sulla sostituzione per produrre $[z:=I]$ modo cheè la composizione

\begin{aligned} R_{0}^{z} : Y z ↠ z^{k} (M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}) \\ N_{i} \equiv M_{i} [z := I] \end{aligned}

$\begin{align*} R^z_0 : Yz \thra z^k(M_1 M_2 M_3 M_4)\\ N_i \equiv M_i[z:=I] \end{align*}$

R_{0}

$R_0$

Y I \overset{R_{0}^{z} [z := I]}{↠} I^{k} (N_{1} \dots N_{4}) ↠_{w}^{k} N_{1} \dots N_{4}

$YI \stackrel{R^z_0[z:=I]}{\thra} I^k(N_1 \cdots N_4) \thra^k_w N_1 \cdots N_4$

Allo stesso modo, possiamo sollevare ogni come $R_i : N_i \thra N \in \setof{I,W}$

\begin{aligned} R_{i}^{z} : M_{i} ↠ N_{i}^{z} \\ R_{i} : N_{i} \overset{R_{i}^{z} [z := I]}{↠} N_{i}^{z} [z := I] ↠_{I} N \end{aligned}

$\begin{align*} R^z_i : M_i \thra N^z_i\\ R_i : N_i \stackrel{R^z_i[z:=I]}{\thra} N^z_i[z:=I] \thra_I N \end{align*}$

La seconda tappa di questa fattorizzazione di consiste precisamente nel contrarre quei -redex che sono creati dalla sostituzione . (In particolare, poiché è una forma normale, così è .) $R_i$ $I$ $N^z_i[z:=I]$ $N$ $N^z_i$

è quello che abbiamo chiamato un " -sprinkling di ", ottenuta ponendo un numero qualsiasi di s circa qualsiasi numero di sottotermini di . Poiché , la forma di sarà una delle $N^z_i$ $z$ $N$ $z$ $N$ $N \in \setof{I,W}$ $N^z_i$

\begin{aligned} z^{k_{1}} (λ x . z^{k_{2}} (x)) \\ z^{k_{1}} (λ w . z^{k_{2}} (z^{k_{3}} (z^{k_{5}} (z^{k_{7}} (w) z^{k_{8}} (λ x . z^{k_{9}} (x))) z^{k_{6}} (w)) z^{k_{4}} (w))) \end{aligned}

$\begin{align*} &z^{k_1}(\lambda x. z^{k_2}(x))\\ &z^{k_1}(\lambda w. z^{k_2}( z^{k_3}( z^{k_5}( z^{k_7}(w) z^{k_8}(\lambda x. z^{k_9}(x)) ) z^{k_6}(w) ) z^{k_4}(w) )) \end{align*}$

Quindi , con una dispersione di per e di per $M_1 M_2 M_3 M_4 \thra N^z_1 N^z_2 N^z_3 N^z_4$ $N^z_i$ $z$ $I$ $i =1,2$ $W$ $i=3,4$ .

Allo stesso tempo, il termine dovrebbe comunque ridursi per produrre l'infinito fpc Bohm tree . Quindi deve esistere una "spolverata" in una delle che arriva all'infinito spesso alla testa del termine, ma non ne blocca ulteriori riduzioni. $N^z_1 N^z_2 N^z_3 N^z_4$ $z(z(z(\cdots)))$ $z^{k_j}$ $N^z_i$

E ora abbiamo finito. Ispezionando ogni , per , e ogni possibile valore di , per $N^z_i$ $i \le 4$ $k_j$ $j \le 2+7\lfloor \frac{i-1}{2} \rfloor$ , troviamo che non esiste tale spruzzatura.

$W$ $IIWW$ $W^z = \lambda w. z(wIww)$

I I W W^{z} \to I W W^{z} \to W W^{z} \to W^{z} I W^{z} W^{z} \to z (I I I I) W^{z} W^{z} ↠ z I W^{z} W^{z}

$IIWW^z \to I W W^z \to WW^z \to W^z I W^z W^z \to z (I I I I) W^z W^z \thra z I W^z W^z$

$\Omega$ ammette una tale spolveratura proprio perché un certo subterma può essere "custodito" senza influire sulla non normalizzazione. La variabile si trova in posizione di testa, ma rimangono abbastanza redex sotto.)

$z$ $M$ $N = \lambda z. M_z$ $N I = M$ . Questo è stato usato da Statman in [2], per esempio.

$Y I = M$ $Y$ $M$ $z$ $M \mapsto Y_M$ $M$ $Y_M$ $M$

Y ⌈ M ⌉ z = {\begin{cases} z (Y ⌈ P [x := Q] ⌉ z) & M \equiv (λ x . P) Q \\ Y ⌈ N ⌉ z & M is not a redex and M \to_{w h} N \end{cases}

$Y \codeof{M} z = \begin{cases} z (Y \codeof{P[x:=Q]} z) &M\equiv (\lambda x.P)Q\\ Y \codeof{N} z &M \text{ is not a redex and }M \to_{wh} N \end{cases}$

[1] Severi P., de Vries FJ. (2011) Decomposizione della grata di insiemi insignificanti nel calcolo lambda infinito. In: Beklemishev LD, de Queiroz R. (a cura di) Logica, lingua, informazione e calcolo. WoLLIC 2011. Appunti delle lezioni in Informatica, vol 6642.

[2] Richard Statman. Non esiste un combinatore S, K iperrecorrente. Rapporto di ricerca 91–133, Dipartimento di Matematica, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, Pennsylvania, 1991.

— Andrew Polonsky
fonte

Y

$Y$

Y I = Ω_{3}

$Y\ I=\Omega_3$

Buon punto. Ho appena aggiornato la risposta.

— Andrew Polonsky,