Caratterizzazione di

È una prova standard nei corsi di automi che per e che non è un linguaggio privo di contesto. $L = \Sigma^\star$ $|\Sigma| \ge 2$ $S(L) = \{ww : w \in L\}$

È anche vero che per ogni finita , è finita (e quindi un CFL). Immagino che essendo infinito e regolare non siano "sufficienti" perché non è un CFL. Modifica : che dire di non CFL ? $L$ $S(L)$ $L$ $S(L)$ $L$

C'è qualche caratterizzazione di ciò che ha non è un CFL? $L$ $S(L)$

context-free

— Ryan
fonte

Se ho capito bene, la domanda è decidere, dato un linguaggio regolare

, se

è libero dal contesto o meno.

L

$L$

S (L)

$S(L)$

— J.-E.

1. Puoi dirci di più sul tipo di caratterizzazione che stai cercando? Stai cercando un algoritmo che, dato

, decide se

è privo di contesto? Stai cercando alcune condizioni su

sufficienti per garantire che

sia privo di contesto? Quale forma vorresti assumere una caratterizzazione? 2. Se non ricevi alcuna risposta dopo qualche giorno e preferisci vederlo su CSTheory.SE, sentiti libero di segnalarlo per l'attenzione del moderatore e chiedere di migrarlo.

L

$L$

S (L)

$S(L)$

L

$L$

S (L)

$S(L)$

— DW

@DW 1. Entrambi andrebbero bene, ma preferirei condizioni sufficienti. 2. Grazie per la punta!

— Ryan,

@Ryan solo condizioni sufficienti? Bene, ecco un paio: (a) L è regolare e per ogni

(b) L è CF e per tutti

è vuoto o uguale a

. Questi non sono assolutamente necessari però. Se non ottieni risposte qui, ti preghiamo di spostare la domanda su cstheory. Sono davvero curioso di conoscere le condizioni necessarie e sufficienti!

w

$w$

L

$L$

w = w^{R}

$w = w^R$

n

$n$

L \cap Σ^{n}

$L \cap \Sigma^{n}$

Σ^{n}

$\Sigma^{n}$

— aelguindy,

infinita e regolare non è effettivamente sufficiente per

non per CF. Se

allora

che è regolare, quindi CF.

L

$L$

S (L)

$S(L)$

Σ = {a, b, c}, L = a^{*}

$\Sigma = \{a,b,c\},L = a^*$

S (L) = (a a)^{*}

$S(L) = (aa)^*$

— Chi,

Più di un commento esteso con una congettura, ma qui c'è una condizione che sembra catturare il problema, nel contesto della normale per per essere senza contesto. $L$ $S(L)$

Condizione Nel DFA minimo per , qualsiasi percorso di accettazione contiene al massimo un loop. $A$ $L$

Eccezione: sono consentiti due loop se le loro etichette e l'etichetta del prefisso prima del primo ciclo commutano tutte e il suffisso dopo il secondo ciclo è vuoto. Ad esempio è ok. $aa^*b(aa)^*$

Ricorda che due parole e commutano se sono poteri di una stessa parola . Possiamo assumere il suffisso vuoto, perché non può essere non vuoto e commutare con l'etichetta del secondo loop in un DFA. $u$ $v$ $t$

Sufficiente , assumendo la condizione, si costruisce un PDA per trattando ogni modello accettando di in cui etichette un ciclo semplice. Vogliamo accettare le parole del modulo . Leggiamo , premiamo un simbolo per ogni ricorrenza di , leggiamo , quindi pop un simbolo per ogni ricorrenza di , e infine leggiamo . $L$ $xuy$ $A$ $u$ $xu^nyxu^ny$ $x$ $u$ $yx$ $u$ $y$

A proposito dell'eccezione, se siamo in questo caso, un percorso di accettazione di base ha la forma dove sono le etichette dei loop. Accettiamo parole della forma , ma per ipotesi ( pendolari) è uguale a , che può essere eseguito da un PDA: premere $xuyv$ $u,v$ $xu^n y v^m xu^n y v^m$ $x,u,v$ $u^nxyu^n v^mxyv^m$ $n$ volte (per occorrenze di ), leggi , pop volte, premi volte (per ), leggi , pop volte. $u$ $xy$ $n$ $m$ $v$ $xy$ $m$

Il PDA finale è l'unione dei PDA per ogni modello.

Necessario (handwaving) Se esiste un percorso con due loop, anche nel caso più semplice in cui è necessario prendere uno dopo l'altro (ad esempio ), è necessario ricordare quante volte vengono prese ognuna, ma la struttura dello stack ti impedisce di ripeterli nello stesso ordine. Si noti che il fatto che DFA sia minimo è importante nella caratterizzazione, per evitare di usare due loop quando uno potrebbe essere sufficiente. $a^*b^*$

Per ora la parte necessaria è solo una congettura, e potrebbero essere necessarie più eccezioni per ottenere la condizione esatta, sarei interessato a contro-esempi.

— Denis
fonte

"e poi rileggere w di nuovo, facendo scattare un simbolo per ogni ciclo preso nella seconda occorrenza della parola" - ma ce ne sono infiniti molti come

! A meno che non stia leggendo la tua tesi in modo errato.

w

$w$

— Ryan,

@Ryan il numero di "pattern" xuy in cui si etichetta un loop è finito, quindi possiamo indovinare quale stiamo leggendo.

— Denis,

Ho modificato per chiarire questa parte.

— Denis

La condizione mi assomiglia a un'altra che avevo in mente: S (L) è libera dal contesto se non esistono parole

, tali che

non sono prefissi l'uno dell'altro e

u, v, w_{1}, w_{2}

$u,v,w_1,w_2$

w_{1}

$w_1$

w_{2}

$w_2$

u (w_{1} + w_{2})^{*} v \subseteq L

$u(w_1+w_2)^*v \subseteq L$

— lupo,

@holf vostro non sembrano funzionare per

a^{*} b^{*}

$a^*b^*$

— Denis