(Come) Potremmo scoprire / analizzare i problemi NP in assenza del modello di calcolo di Turing?

Da un punto di vista matematico / di ragionamento puramente astratto (come) si potrebbe persino scoprire o ragionare su problemi come 3-SAT, somma dei sottoinsiemi, commesso viaggiatore ecc.? Saremmo ancora in grado di ragionare su di loro in modo significativo con il solo funzionale punto di vista? Sarebbe anche possibile?

Ho riflettuto su questa domanda puramente da un punto di autoindagine come parte dell'apprendimento del modello di calcolo lambda di calcolo. Capisco che è "non intuitivo" ed è per questo che Godel ha favorito il modello di Turing. Tuttavia, vorrei solo sapere quali sono i noti limiti teorici di questo funzionale stile di calcolo e quanto di un ostacolo sarebbe per analizzare la classe NP di problemi?

Potresti voler esaminare la semantica dei costi per i linguaggi funzionali . Queste sono varie misure di complessità computazionale per linguaggi funzionali che non passano attraverso alcun tipo di macchina di Turing, macchina RAM, ecc. Un buon punto di partenza è questo post Lambda the Ultimate , che ha alcuni buoni riferimenti ulteriori.

La sezione 7.4 delle basi pratiche di Bob Harper per i linguaggi di programmazione spiega la semantica dei costi.

L'articolo sulla relativa utilità delle palle di fuoco di Accattoli e Coen mostra che il calcolo ha al massimo un ingrandimento lineare rispetto al modello di macchina RAM.$\lambda$

In sintesi, su questo altro pianeta le cose sarebbero praticamente le stesse per quanto riguarda NP, ma ci sarebbero meno traboccamenti del buffer e non ci sarebbe tanta spazzatura in giro.

Su richiesta di Andrej e PhD, sto trasformando il mio commento in una risposta, con scuse per l'auto-pubblicità.

Recentemente ho scritto un documento in cui guardo come dimostrare il teorema Cook-Levin ( -completeness di SAT) utilizzando un linguaggio funzionale (una variante del λ-calcolo), invece di macchine di Turing. Un sommario:$\mathsf{NP}$

• la nozione chiave è quella delle approssimazioni affine, cioè approssimando i programmi arbitrari da quelli affini (che possono usare i loro input al massimo una volta); l'intuizione è che i così affiniλ-termati approssimativi calcoli arbitrari bene arbitrari proprio come i circuiti booleani; $$\frac{\text{Boolean circuits}}{\text{Turing machines}}=\frac{\text{affine $\lambda$-terms}}{\text{$\lambda$-terms}}$$ $\lambda$
• il risultato è che, nel mondo dei calcoli , la dimostrazione è molto "di livello superiore", usa la teoria degli ordini, la continuità di Scott, ecc. invece di hackerare i circuiti booleani; in particolare, lo slogan "il calcolo è locale" (che viene dato da molti come il messaggio alla base del teorema di Cook-Levin) diventa "il calcolo è continuo", come previsto;$\lambda$
• tuttavia, il problema "naturale" di non è CIRCUIT SAT ma HO CIRCUIT SAT, una sorta di "solvibilità" di termini lineari λ o, più precisamente, reti logiche a prova di logica (che sono come circuiti booleani di ordine superiore) ;$\mathsf{NP}$
• naturalmente, si può quindi ridurre HO CIRCUIT SAT a CIRCUIT SAT, dimostrando così il solito teorema di Cook-Levin, e i dettagli cruenti e di basso livello vengono tutti spostati per costruire tale riduzione.

Quindi l'unica cosa che cambierebbe "da questa parte del pianeta" è, forse, che avremmo considerato un "problema relativo al calcolo λ, invece del problema relativo al circuito booleano, il" primordiale " - problema completo.$\mathsf{NP}$

Una nota a margine : la prova di cui sopra potrebbe essere riformulata in una variante del calcolo di Accattoli con sostituzioni esplicite lineari menzionate nella risposta di Andrej, che è forse più standard del calcolo λ che uso nel mio documento.$\lambda$$\lambda$

Modifica successiva: la mia risposta è stata solo un po 'più che un incolla dal mio commento e mi rendo conto che qualcosa di più dovrebbe essere detto riguardo al cuore della domanda che, come ho capito, è: sarebbe possibile sviluppare la teoria della completezza di senza macchine di Turing?$\mathsf{NP}$

Concordo con il commento di Kaveh: la risposta è sì , ma forse solo in modo restrittivo. Cioè, quando si tratta di complessità (contando il tempo e lo spazio), le macchine di Turing sono imbattibili nella semplicità, il modello di costo è evidente per il tempo e quasi evidente per lo spazio. Nel calcolo , le cose sono molto meno evidenti: i modelli di costo del tempo come quelli menzionati da Andrej e riportati nel libro di Harper sono della metà degli anni '90, i modelli di costo dello spazio sono ancora quasi inesistenti (sono a conoscenza essenzialmente di un'opera pubblicata nel 2008 ).$\lambda$

$\lambda$

$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$$\lambda$

$\lambda$$\lambda$

$\mathsf{NP}$$\lambda$, non importa se sai che le tue intuizioni sono solide. Le macchine di Turing hanno dato una risposta immediata e praticabile, e le persone non hanno (e continuano a non sentire) la necessità di andare oltre.