Qual è il nome di una funzione

Let sia un linguaggio e una funzione su due parametri con la proprietà che per tutti ed , restituisce un elemento di se e solo se sia che sono elementi di :f : Σ ⋆ × Σ ⋆ → Σ ⋆ x y f L x y $L$$f\colon {\Sigma^\star}\times\Sigma^\star\to\Sigma^\star$$x$$y$$f$$L$$x$$y$$L$

Domanda Tali funzioni hanno un nome in letteratura?

Di seguito sono riportate alcune osservazioni divertenti. Queste funzioni, che chiamerò " riduzioni congiuntive ", possono essere costruite per i problemi completi di una varietà di classi di complessità. Ad esempio, per , prendi la funzione . Analogamente, possiamo considerare " riduzioni disgiuntive ", in modo che sia una riduzione disgiuntiva rispetto a . Queste due riduzioni funzionano bene anche su formule booleane quantificate, quindi funzionano anche per tutti i livelli della gerarchia polinomiale e per PSPACE.$L=SAT$$f(\psi, \phi)=\psi\wedge\phi$$g(\psi,\phi)=\psi\vee\phi$$SAT$

È facile costruire riduzioni congiuntive e disgiuntive per le lingue L e NL-Complete DSTCON e USTCON: dati due grafici, e due coppie di vertici, , costruisci un nuovo grafico prendendo l'unione disgiunta , aggiungi due nodi e aggiungi bordi . Una riduzione disgiuntiva mette questi due grafici in parallelo, piuttosto che in serie.$G, H$$(u,v), (x,y)$$G\cup H$$s,t$$(s,u),(v,x),(y,t)$

Esiste una riduzione congiuntiva per l'isomorfismo grafico, ma ovviamente non esiste alcuna riduzione disgiuntiva. Al contrario, esiste una riduzione disgiuntiva per il problema dell'automorfismo del grafico non banale, ma non sono riuscito a trovare una riduzione congiuntiva. Questo mi ha sorpreso, perché pensavo che questi problemi fossero in qualche modo uguali, e poi avevo imparato qualcosa di nuovo sull'isomorfismo grafico!

Come ultimo passo ovvio, si può considerare " riduzioni coniugati ", funzioni tale che . Trovare una tale riduzione per l'isomorfismo grafico mostrerebbe che è in coNP. Non sono riuscito a trovare né una riduzione congiuntiva, né disgiuntiva, né coniugata per la versione decisionale di Factoring.$f(x)\in L \iff x \not\in L$

Sono in genere chiamate funzioni AND. (Non sto scherzando.) In effetti, questo concetto è stato considerato in precedenza, ed è così che la gente li chiama. Vedi, ad esempio, il libro di Kobler, Schoning e Toran su Graph Iso, dove parlano delle funzioni AND e OR per IG. E, tra l'altro, non è un OR funzione GI (ibid.).

La domanda di una funzione AND per l'automorfismo grafico è, credo, ancora aperta :) (come affermato nel libro sopra).

Sulla base del tuo ultimo paragrafo, il tipo di riduzione di cui stai parlando può anche essere generalizzato a quelle che sono chiamate riduzioni "verità-tabella" o "tt". Si tratta di riduzioni di Turing non adattative (le query sono risolte dall'input, ma non possono dipendere dalla risposta alle query precedenti). Ad esempio, il tipo di negazione della riduzione nell'ultimo paragrafo è una riduzione di 1 tt (1 = numero di query).