L'implementazione 2016 dell'algoritmo di Shor è davvero scalabile?

Nel documento scientifico del 2016 " Realizzazione di un algoritmo Shor scalabile " [ 1 ], gli autori fattorizzano 15 con solo 5 qubit, che è inferiore agli 8 qubit "richiesti" secondo la Tabella 1 di [ 2 ] e la Tabella 5 di [ 3 ]. Il requisito di 8 qubit deriva dalla fine di [ 4 ] che afferma che il numero di qubit necessari per il factoring di un numero -bit è che per 15 è . $n$ $1.5n+2$ $1.5\cdot 4 + 2=8$

L'articolo che usa solo 5 qubit afferma che il loro algoritmo "sostituisce un QFT che agisce su qubit M con un QFT semiclassico che agisce ripetutamente su un singolo qubit", ma le conseguenze di ciò sulla complessità dell'algoritmo non sono mai state menzionate nel documento.

Ora ci sono state aspre critiche al documento che afferma il fattore 15 in modo "scalabile", come si dice nella Sezione 2 che l'argomento della complessità per l'algoritmo di Shor non regge più. Tuttavia, questa critica non è stata confermata da nessuna parte e il documento di Science continua a essere celebrato come una versione "scalabile" dell'algoritmo di Shor. Qual è la complessità dell'algoritmo Shor "scalabile"?

[ 1 ] Monz et al. (2016) Scienza . Vol. 351, Numero 6277, pagg. 1068-1070
[ 2 ] Smolin et al. (2013) Natura . 499, 163–165
[ 3 ] Dattani & Bryans (2014) arXiv: 1411.6758
[ 4 ] Zalka (2008) arXiv: quant-ph / 0601097
[ 5 ] Cao & Luo "Commento su: realizzazione di un algoritmo Shor scalabile"

— user1271772
fonte

Dipende da cosa intendi per "scalabile". Alcune delle critiche a Cao e Liu sembrano abbastanza schizzinose. Ad esempio, una delle loro critiche è che Kitaev non ha affermato che potresti usare solo un qubit nel documento citato per questo risultato. Non sembrano indagare se questa affermazione stessa sia effettivamente vera o falsa. L'algoritmo di Kitaev può infatti essere modificato per usare solo un qubit, come sostiene il documento di Science, anche se questa affermazione non sembra essere nel documento di Kitaev sul suo algoritmo.

— Peter Shor,

@ Peter, che onore sentirti! Ok, quindi gli autori (correttamente) hanno esteso i risultati del documento di Kitaev per renderlo possibile con un qubit, e Cao & Liu si lamentano che lo chiamano "algoritmo di Kitaev" piuttosto che "algoritmo di Kitaev modificato o qualcosa del genere". Tuttavia, affermano anche che l'argomento della complessità non è più valido quando il QFT viene trasformato nel "QFT semi-classico". Sono ancora uno studente quando si tratta di questo tipo di analisi, quindi apprezzerei il contributo. La complessità è ancora O (log n) ^ 3? È ancora "scalabile" in termini di polinomio o almeno <GNFS?

— user1271772

Lascerò che qualcun altro risponda a questo, poiché la gente potrebbe affermare che sono di parte. Vorrei sottolineare che gli autori dell'articolo scientifico non hanno esteso l'algoritmo di Kitaev ... è un'estensione ben nota. Semplicemente non hanno citato il riferimento corretto.

— Peter Shor,

Queste formule che arrivano a 8 qubit richiedono un'implementazione specifica dell'algoritmo di Shor e calcolano quanti qubit richiede l'implementazione. Non sostengono che questa sia la migliore implementazione possibile.

— Peter Shor,

@ user1271772 Questo è stato segnalato per l'attenzione di moderazione sulla base del tuo essere uno degli autori menzionati nel tuo post. Non che sia male, un po 'di auto-pubblicità è una parte inevitabile della scienza, ma forse è meglio essere chiari al riguardo?

— Bjørn Kjos-Hanssen

La principale spinta dell'argomento di Cao e Luo è che nella variante dell'algoritmo implementato, il primo registro - che alla fine contiene l'output - contiene solo 1 bit. E se ottieni solo 1 bit di output dall'algoritmo, non è sufficiente per la fattorizzazione. (Per prima cosa, sebbene questo non sia il loro argomento, 1 bit chiaramente non contiene informazioni sufficienti per determinare i fattori.)

Ciò che Cao e Luo sembrano non rendersi conto è che per la variazione della trasformata di Fourier con un solo bit nel primo registro, viene emesso lo stesso valore di dell'algoritmo di factoring standard; viene emesso solo un bit alla volta. Questa modifica non influisce sul tempo di esecuzione . $c$ $O(\log^3 N)$

Per cercare di essere onesti con Cao e Luo, dicono che non pensano che questo algoritmo funzioni, e se funziona, allora non è l'algoritmo di Shor perché non corrisponde esattamente all'algoritmo descritto nel documento di factoring originale . Una citazione dal loro articolo:

Infine, vorremmo sottolineare che se l'implementazione è davvero credibile, si tratterebbe di un nuovo algoritmo di factoring quantistico, non dell'algoritmo di Shor, perché tutti i requisiti dell'algoritmo di Shor originale non sono soddisfatti.

E in effetti, non è l'algoritmo del mio documento di factoring originale. Utilizza la procedura di stima della fase dall'algoritmo di factoring di Kitaev e una variante, scoperta da Griffiths e Niu (non da Parker e Plenio, come ho detto in una precedente modifica di questa risposta) che consente all'algoritmo di produrre la stima della fase un po 'alla volta.

— Peter Shor
fonte

Per favore, mostrami dove nel documento di Cao e Luo si dice che l'output di un bit alla volta influisce sul costo dell'operazione. Se sto leggendo il loro documento correttamente, non lo fanno. Penso di aver adeguatamente confutato le loro critiche.

— Peter Shor,

Le loro critiche sono (1) se hai solo un bit di output, quindi l'algoritmo delle frazioni continue non funziona. Questo è confutato notando che in realtà hai più di un bit di output. (2) se si dispone di un solo bit di output, le probabilità per ciascun output sono errate. Questo è di nuovo confutato notando che in realtà hai più di un bit di output. (3) gli unici circuiti di moltiplicazione utilizzati erano quelli che moltiplicano , dove è un numero fisso precompilato nel circuito di moltiplicazione. Non ho confutato questo nella mia risposta, ma questo è tutto ciò che devi considerare.

c

$c$

x \cdot t

$x\cdot t$

t

$t$

— Peter Shor,

Non ho intenzione di passare attraverso il circuito per la stima della fase di uscita a un qubit e spiegherò perché la modifica relativamente piccola necessaria per ottenere questo risultato non influisce sulla complessità del tempo. E 'la modifica "semi-classico" descritto a pagina 2 di Parker e Plenio di carta , fattorizzazione efficiente con un singolo qubit puro e log n qubit misti .

— Peter Shor,

\log N + 1

$\log N + 1$

1

$1$

\log N + 1

$\log N + 1$

Come ho detto, devi leggere e capire il documento. Contali anche tu se non ti fidi di me. La struttura di base dell'algoritmo non è cambiata.

— Peter Shor,