I grafici del "genere delimitato dall'esterno" hanno una larghezza degli alberi costante?

Lascia che e denoti con l'insieme di tutti i grafici che possono essere incorporati su una superficie del genere tale che tutti i vertici siano situati sulla faccia esterna . Ad esempio, è l'insieme dei grafici del piano esterno. La larghezza degli alberi dei grafici in essere limitata da una funzione di ?$k\in\mathbb{N}$$G_k$$k$$G_0$$G_k$$k$

L'altra direzione ovviamente non regge, dal momento che la larghezza degli alberi costante non implica nemmeno un genere costante: Sia l'unione di copie disgiunte di . La larghezza dell'albero di è costante, ma il suo genere è .$H_n$$n$$K_{3,3}$$H_n$$n$

Sì.

Aggiungi un vertice nel mezzo della faccia esterna, collegato a tutti i vertici nella faccia esterna; questo non cambia il genere e non riduce la larghezza degli alberi. Ora il grafico ha un albero di ricerca molto superficiale in primo luogo radicato sul nuovo vertice (tutto è adiacente ad esso).

Forma un albero spanning del doppio grafico i cui bordi doppi sono disgiunti dai bordi del primo albero di ricerca della larghezza. Quindi c'è una serie di spigoli O (genere) che non appartengono ad alcun albero. Ciascuno di questi bordi induce un breve ciclo (un triangolo) insieme a un percorso nel primo albero di ricerca dell'ampiezza, e il taglio della superficie lungo questi cicli produce una superficie planare (vedere il mio documento "Generatori dinamici di grafici incorporati topologicamente"). Cioè, se G 'è il sottografo del grafico di input indotto dai vertici che non sono punti finali dei bordi di taglio O (genere), allora G' è planare e i suoi vertici possono essere coperti dalle facce O (genere) dei suoi incorporamento planare (le facce in cui i cicli di taglio tagliano la faccia esterna originale).

Ma in un grafico planare in cui tutti i vertici appartengono a k facce, è possibile rimuovere un altro bordo O (k) (un albero di spanning delle facce) per ottenere un grafico planare esterno. Quindi la larghezza dell'albero di G 'è O (genere). Se si forma una decomposizione ad albero di G 'con questa larghezza, e quindi si aggiungono a ciascuna sacca i vertici che sono punti finali dei bordi del ciclo di taglio, il risultato è una decomposizione ad albero del grafico di input originale con larghezza dell'albero O (genere).

Sembra probabile che questo debba trovarsi nella letteratura già da qualche parte, ma non so dove e alcune ricerche rapide non sono riuscite a trovare una dichiarazione esplicita di questo risultato preciso. Tuttavia, un'affermazione più generale è in un mio documento diverso: in "Diametro e larghezza dell'albero in famiglie di grafi chiuse in modo minore", provo tra l'altro che i grafici di genere limitati di diametro limitato hanno limitato la larghezza dell'albero. In questo caso (aggiungendo quel vertice extra all'interno della faccia esterna) il diametro può essere considerato al massimo due.