Teorema di Ramsey per raccolte di set

Durante l'esplorazione di diverse tecniche per dimostrare limiti inferiori per gli algoritmi distribuiti, mi è venuto in mente che la seguente variante del teorema di Ramsey potrebbe avere applicazioni, se fosse vera.

Parametri: , K , n sono indicati e quindi N è scelto per essere sufficientemente grande. Terminologia: un m -subset è un sottoinsieme di dimensioni m .$k$$K$$n$$N$$m$$m$

• Sia .$A = \{1,2,...,N\}$
• Let consistono in tutti k -subsets di A .$B$$k$$A$
• Lasciate sono costituiti da tutte le K -subsets di B .$C$$K$$B$
• Assegnare una colorazione di C .$f\colon C \to \{0,1\}$$C$

Ora il teorema di Ramsey (la versione dell'hypergraph) dice che, indipendentemente da come scegliamo , esiste un n -subset B ′ monocromatico di B : tutti i sub-gruppi K di B ′ hanno lo stesso colore.$f$ $n$$B'$$B$$K$$B'$

Vorrei fare un ulteriore passo avanti e trovare un -subset monocromatico A ′ di A : se B ′ ⊂ B è costituito da tutti i k -subs di A ′ , allora tutti i K -subset di B ′ hanno lo stesso colore.$n$$A'$$A$$B' \subset B$$k$$A'$$K$$B'$

È vero o falso? ha un nome? Conosci qualche riferimento?

Se è falso per alcuni motivi banali, esiste una variante più debole che ricorda questa affermazione?

Osservato che la domanda non è banale solo quando k, K sono entrambi maggiori di 1; nel caso k = 1 o K = 1, è solo il normale teorema di Ramsey, vero per tutti n. Inoltre, dobbiamo solo affrontare il caso che > K, altrimenti il ​​teorema è vero poiché ce n'è al massimo uno (${n \choose k}$ -subset di B 'costruito da un sottoinsieme n' A 'di A.${n \choose k}$

Innanzitutto dimostriamo che il teorema è falso per tutti k> 1, K> 1 e qualsiasi n soddisfa > K>(n-${n \choose k}$.$({n-1 \atop k})$

Per costruire un controesempio, per qualsiasi N grande e A = [N], dobbiamo costruire una funzione colorante f tale che per tutti i n-sottogruppi A 'di A, se B' è costituito da tutti i k-sottogruppi di A ' , alcuni dei sottoinsiemi K di B 'hanno colori diversi. Qui abbiamo la seguente osservazione:

Osservazione 1. Alle condizioni che k, K> 1 e > K>(n-${n \choose k}$, qualsiasi sottoinsieme K di B è un sottoinsieme al massimo di una B 'costruito da un sottoinsieme n' A 'di A.$({n-1 \atop k})$

L'osservazione può apparire facilmente rappresentando come ipergrafi. Sia A un nodo del grafico G, un sottoinsieme A 'di A è l'insieme di nodi di un n-sottografo completo in G. B' è l'insieme di k-iperedges nel sottografo completo (un 2-hyperedge è un bordo normale) e sottoinsiemi K di B 'sono le combinazioni ogni (ci sono in totale, dove | B '| = ($({|B'| \atop K})$ ) di K k-iperedges. L'osservazione afferma: qualsiasi K-tupla di iperedges in G appartiene al massimo a un n-sottografo completo, che è ovvio per (${n \choose k}$ > K>(n-${n \choose k}$, poiché ogni due n-sottografi completi si intersecano al massimo n-1 nodi, con al massimo(n-$({n-1 \atop k})$iperedges.$({n-1 \atop k})$

Quindi possiamo assegnare colori diversi all'interno dei sottoinsiemi K C 'di un particolare B' costruito da un n-sottoinsieme A ', poiché qualsiasi elemento in C' non si verificherà come un altro sottoinsieme K di B '' costruito da un sottoinsieme n UN''. Per qualsiasi sottoinsieme K di B non costruito da alcun sottoinsieme n di A, assegniamo un colore casuale su di esso. Ora abbiamo una funzione colorante f, con la proprietà che nessun B 'costruito da n-sottoinsieme di A è monocromatico, cioè alcuni dei sottoinsiemi K di B' hanno colori diversi.

Successivamente mostriamo che il teorema è falso anche per tutti k> 1, K> 1 e qualsiasi n soddisfa > K. Qui l'unica differenza è che n può essere scelto così grande, che K>(n-${n \choose k}$non è vero. Ma con un'altra semplice osservazione:$({n-1 \atop k})$

Osservazione 2. Se qualche B 'costruito da un n-sottoinsieme A' di A è monocromatico, allora anche ogni B '' costruito da un n 'sottoinsieme A' 'di A' per n '<n è anche monocromatico.

Quindi possiamo supporre che il teorema valga per la n più grande, applicare la seconda osservazione e concludere una contraddizione con il primo caso, impostando n 'soddisfa > K>( n ′ -$({n' \atop k})$; tale n 'deve esistere dal fatto che($({n'-1 \atop k})$> K e K>($({n \atop k})$, n 'deve trovarsi tra n e k + 1.$({k \atop k})$