Perché i grafici riflessivi per parametricità?

Osservando i modelli di polimorfismo parametrico, sono curioso di sapere perché vengono utilizzate le categorie dei grafici riflessivi ?

In particolare, perché non includono la composizione relazionale? Osservando i modelli, sembrano tutti supportare una nozione naturale di composizione relazionale:

Gli articoli più recenti che usano grafici riflessivi sembrano dare questo per scontato, e l'unico documento più vecchio che ho trovato che ne ha discusso è stato "Parametricità relazionale e variabili locali" di O'Hearn e Tennent che dicono:

Una ragione per non richiedere la componibilità è che, come è noto, la composizione non è preservata da relazioni logiche di tipo superiore.

E non sono del tutto sicuro di cosa significhi, quindi la mia prima domanda è cosa si intende con questo e, si spera, un migliore riferimento a questa domanda.

Ciò che penso significhi che, ad esempio, l'esponenziale non preserva necessariamente la composizione relazionale sul naso. In particolare non possiamo mostrare . Ciò significa che l'esponente non si estende a un funzione su una categoria di relazioni.$(R;R') \to (S;S') \equiv ((R \to S);(R' \to S'))$

Tuttavia, anche se non posso mostrare l'equivalenza tra le relazioni di cui sopra, posso certamente dimostrare un'inclusione , giusto?$((R \to S);(R' \to S')) \subset ((R;R') \to (S;S'))$

Dato , quindi esiste una g di tipo appropriato con f ( R → S ) g ( R ′ → S ′ ) h , quindi data una x R y R ′ z , posso mostrare f ( x ) S g ( y ) S ′$f((R \to S);(R' \to S')) h$$g$$f(R\to S)g(R'\to S')h$$xRyR'z$ . Non Ciò significa che l'esponenziale mi dà un lassista funtore, che sembra un cattivo proprietà di buttare via? Quindi la mia seconda domanda è ci sono esempi in cui l'inclusione in questa direzione non è provabile, neanche?$f(x) S g(y) S' h(z)$

Nei mesi da quando ho posto questa domanda, penso di aver trovato una risposta ragionevole.

Spesso, il tipo di relazioni considerate non si compone. Per esempio, se la vostra idea di una relazione tra Ohm CPO è un ω catena a completa sottoinsieme di | D | × | E | , quindi la relazione R : ω + 1 → N tra i naturali ordinati più l'infinito ω + 1 e il CPO piatto dei naturali N dato da R ( n , n ) vale e nient'altro, quindi$R : D \to E$$\omega$$\omega$$|D|\times |E|$$R : \omega + 1 \to \mathbb{N}$$\omega+1$$\mathbb{N}$$R(n,n)$ è ammissibile, come è il contrario, ma la R composita ; R T : ω + 1 → ω + 1 non è completo a catena, poiché n R ; R T n per ogni naturale, ma non abbiamo ω R ; R T ω .$R$$R;R^T : \omega+1 \to \omega + 1$$n R;R^T n$$\omega R; R^T \omega$