Classi di complessità di casualità e piccoli circuiti

Sia una classe di complessità e sia la controparte randomizzata di definita come rispetto a . Più formalmente forniamo polinomialmente molti bit casuali e accettiamo un input se la probabilità di accettare è superiore a . $\mathcal{C}$ $\textrm{BP-}\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $\textrm{BPP}$ $\textrm{P}$ $\frac{2}{3}$

È noto che per i circuiti non uniformi abbiamo : $\textrm{BPAC}^0=\textrm{AC}^0$

Miklós Ajtai, Michael Ben-Or: A Theorem on Probabilistic Constant Depth Computations STOC 1984: 471-474

Sono note le generalizzazioni di questo teorema? Ad esempio, sappiamo se (ancora in un'impostazione non uniforme)? Quest'ultima domanda mi sembra in qualche modo non banale dal momento che sembra plausibile che per esempio sia in . $\mathrm{BPNC}^1=\mathrm{NC}^1$ $s,t\textrm{-Connectivity}$ $\textrm{BPNC}^1$

Un post pertinente sull'argomento: /mathpro/35184/use-of-randomness-in-constant-parallel-time

circuit-complexity randomized-algorithms

— CP
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Cosa spinge il tuo sospetto sulla connettività?

— Michaël Cadilhac

Stai chiedendo classi di circuiti uniformi ? È abbastanza ovvio che classi non uniformi come sono chiuse sotto l'operatore BP.

N C^{1}

$\mathrm{NC^1}$

— Emil Jeřábek,

Usa lo stesso argomento di P / poly. È necessaria solo la funzione di maggioranza, che è definibile in . (Ajtai e Ben-Or hanno bisogno di più lavoro poiché la maggioranza non è disponibile in .)

T C^{0} \subseteq N C^{1}

$\mathrm{TC^0\subseteq NC^1}$

A C^{0}

$\mathrm{AC^0}$

— Emil Jeřábek

@EmilJeřábek hai perfettamente ragione. Per ogni classe di circuito non unifom superiore a abbiamo . Grazie mille.

{TC}^{0}

$\textrm{TC}^0$

BP - C = C

$\textrm{BP}-\mathcal{C}=\mathcal{C}$

— CP

@ EmilJeřábek: Ah, capisco. Penso che sia borderline; non è ovviamente una domanda di ricerca , ma è stata chiaramente posta sul serio da qualcuno con qualche esperienza di ricerca in complessità, che è stato semplicemente fuorviato cercando di estendere Ajtai-Ben-O piuttosto che usare l'approccio più diretto.

— Joshua Grochow,

La maggior parte delle classi di complessità non uniformi — incluso — sono chiuse sotto l' operatore dallo stesso argomento di : usando il limite di Chernoff – Hoeffding, la probabilità di l'errore può essere ridotto al di sotto di eseguendo istanze del circuito con bit casuali indipendenti in parallelo e prendendo un voto a maggioranza; quindi dal limite dell'unione, una sequenza di bit casuali dà il risultato corretto per tutti i input di lunghezza contemporaneamente con probabilità diversa da zero, e in particolare esiste una tale sequenza. Possiamo collegarlo al circuito. $\mathrm{NC^1}$ $\mathrm{BP}$ $\mathrm{BPP\subseteq P/poly}$ $2^{-n}$ $O(n)$ $2^n$ $n$

Questo argomento si applica a qualsiasi classe di circuiti che viene chiusa prendendo la maggior parte delle copie parallele di un circuito e fissando le porte di ingresso alle costanti. In pratica, ciò significa qualsiasi classe non uniforme decente al di sopra di , poiché la maggioranza è calcolabile in . $O(n)$ $\mathrm{TC^0}$ $\mathrm{TC^0}$

La dimostrazione è più complicata per , perché questa classe non calcola la funzione maggioritaria. (Anche se non ho visto il giornale Ajtai e Ben-Or, immagino che usino una sorta di maggioranza approssimativa.) $\mathrm{AC^0}$

— Emil Jeřábek
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