Riduzioni tra lingue di diversa densità?

La densità di una lingua è una funzione d X : N → N definita come d X ( n ) = | { x ∈ X ∣ | x | ≤ n } | . Supponiamo che A e B sono le lingue più di qualche alfabeto finito, A molti-uno logspace riduce a B , e B non è in L = DSPACE ( log n $X$$d_X \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$

Se la densità di non è polinomialmente correlata alla densità di B , può esserci una riduzione dello spazio di registro da B ad A ?$A$$B$$B$$A$

sfondo

Mi aspetto che la risposta sia no, ma al momento non posso mostrarlo.

Chiaramente, se è in L allora v'è alcuna riduzione logspace da B a A . Quindi ci sono alcuni esempi per i quali è possibile fornire una risposta negativa definita.$A$$\mathsf{L}$$B$$A$

Per prima cosa ho pensato al caso in cui è un linguaggio duro, e A si ottiene facendo buche in B prendendo A = B ∩ G , per un linguaggio gap G che contiene tutte le parole di lunghezza n ∈ S G per alcuni insiemi S G ⊆ N (vedi Schmidt 1985 e anche Regan e Vollmer 1997 ). Questo garantisce una riduzione banale da A a B . Linguaggi di gap G di solito hanno spazi crescenti esponenzialmente tra gli intervalli di dimensioni in$B$$A$$B$$A = B\cap G$$G$$n \in S_G$$S_G \subseteq \mathbb{N}$$A$$B$$G$ . Ciò garantisce che le densità di A e B non siano correlate polinomialmente. Tuttavia, non v'è alcuna garanzia che soffia fori in una lingua dà sempre luogo a un linguaggio che è insufficiente struttura da essere il bersaglio di una riduzione dal B . (Il termine "hole hole"deriva daDowney e Fortnow 2003). La differenza di densità potrebbe essere sufficiente per garantirlo, ma non vedo immediatamente come.$S_G$$A$$B$$B$

Un altro esempio è quando è una miscela di un linguaggio duro e A . Innanzitutto creare un linguaggio gappy Una ∉ L intersecando qualche linguaggio C ∉ L con un linguaggio gap G . A conterrà quindi solo istanze di dimensioni che si trovano negli intervalli dell'insieme di dimensioni S G che determinano la lingua del gap. Ora create B mescolando A con un po 'duro il linguaggio D le lacune, prendendo l'unione di A e l'intersezione di D con il complemento di G . Se $B$$A$$A\not\in\mathsf{L}$$C \not\in \textsf{L}$$G$$A$$S_G$$B$$A$$D$$A$$D$$G$$D$è abbastanza difficile rispetto a , come D essendo 2EXPSPACE -duro mentre C ∈ PSPACE ∖ L , quindi dalla gerarchia spazio teorema ci può essere riduzione logspace da D a A . Sembra quindi possibile estendere questo per dimostrare che non v'è alcuna riduzione logspace da B a A .$C$$D$$\textsf{2EXPSPACE}$$C \in \textsf{PSPACE} \setminus \textsf{L}$$D$$A$$B$$A$

Questo lascia ancora la situazione in cui è più difficile di C ma "non troppo", per esempio prendere D come SAT e C come STCON, o D come QBF-SAT e C come SAT. Per ottenere un risultato, potrebbe essere necessario assumere L ≠ N P per STCON / SAT o N P ≠ P S P A C E per SAT / QBF-SAT, ma non mi è immediatamente chiaro come utilizzare questi presupposti.$D$$C$$D$$C$$D$$C$$\mathsf{L} \ne \mathsf{NP}$$\mathsf{NP} \ne \mathsf{PSPACE}$

$A$ $L$$A$$2^{o(n)}$