Ci sono classi di grafici interessanti in cui la larghezza dell'albero è difficile (facile) da calcolare?

Treewith è un parametro grafico importante che indica quanto è vicino un grafico ad essere un albero (anche se non in senso topologico rigoroso).

È noto che il calcolo della larghezza dell'albero è NP-difficile.

Esistono classi naturali di grafici in cui la larghezza dell'albero è difficile da calcolare?

Allo stesso modo:

Esistono interessanti classi di grafici in cui il calcolo della larghezza dell'albero è semplice? Se sì, esiste qualche proprietà / test strutturale che può essere sfruttato? Vale a dire, il grafico ha la proprietà calcola la larghezza dell'albero di . $G$ $X$ $\Rightarrow$ $G \in \mathbf{P}$

— PsySp
fonte

Per le classi di grafici in cui la larghezza dell'albero è limitata o illimitata, è possibile vedere graphclasses.org; cerca il parametro treewidth e otterrai un elenco di lassi grafici in cui la larghezza dell'albero è limitata (o illimitata): graphclasses.org/classes/par_10.html

— Cyriac Antony

Potresti anche usare la loro applicazione java per vedere le classi in cui la decomposizione della larghezza degli alberi è difficile (o facile)

— Cyriac Antony,

La larghezza dell'albero è NP-difficile da calcolare su grafici co-bipartiti, anzi la prova originale della durezza NP della larghezza dell'albero di Arnborg et al. mostra questo. Inoltre, Bodlaender e Thilikos hanno dimostrato che NP è difficile calcolare la larghezza dell'albero dei grafici di massimo grado . Infine, per qualsiasi grafico di larghezza dell'albero almeno , la suddivisione di un bordo (ovvero la sostituzione del bordo con un vertice di grado adiacente ai due punti finali del bordo) non modifica la larghezza dell'albero del grafico. Quindi è NP-difficile calcolare la larghezza dell'albero dei grafici bipartiti a 2 degeneri di circonferenza arbitrariamente grande. $9$ $2$ $2$

Il problema è il tempo polinomiale risolvibile su grafici cordali, grafici di permutazione e più in generale su tutte le classi di grafici con un numero polinomiale di potenziali cricche massime, vedi questo articolo di Bouchitte e Todinca. Si noti che nella stessa carta viene mostrato che l'insieme delle potenziali cricche massime di un grafico può essere calcolato da nel tempo . Inoltre, l'algoritmo di Bodlaender determina se ha la larghezza degli alberi al massimo in tempo . Pertanto, la larghezza dell'albero è risolvibile nel tempo polinomiale per i grafici della larghezza dell'albero . $\Pi(G)$ $G$ $G$ $O(|\Pi(G)|^2 \cdot n^{O(1)})$ $G$ $k$ $2^{O(k^3)}n$ $O((\log n)^{1/3})$

È un problema aperto eccezionale se il calcolo della larghezza dell'albero dei grafici planari è risolvibile nel tempo polinomiale o NP completo. Vale la pena notare che la larghezza del ramo del parametro grafico correlato (che è sempre all'interno di un fattore 1,5 lontano dalla larghezza dell'albero) è tempo polinomiale calcolabile su grafici planari.

— Daniello
fonte

Grazie. Quindi l'unica classe nota per essere dura è i grafici co-bipartiti? La proprietà di potenziali cricche massime non mi sembra sorprendente. Questa proprietà è P-time testabile?

— PsySp

Prendi 2 vertici e collegali con (n-2) / 3 percorsi con 3 vertici su ciascun percorso. Ci sono circa pmc.

3^{n / 3}

$3^{n/3}$

— daniello,

Bodlaender e Thilikos [DAM 79 (1997) 45-61] hanno mostrato che calcolare la larghezza degli alberi è NP-difficile per i grafici di massimo grado 9.

— Yota Otachi

Oltre alla durezza per i grafici co-bipartiti, va anche detto che il calcolo della larghezza degli alberi è anche difficile per i grafici bipartiti, osservato per la prima volta, credo, da Ton Kloks nella sua tesi di dottorato.

— vb le

Si può menzionare che (quasi) non si sa nulla della sua complessità di approssimazione e dei limiti inferiori parametrizzati. In linea di principio, potrebbe esserci un algoritmo PTAS o tempo esponenziale, sebbene entrambi molto improbabili. L'unica durezza di approssimazione è quella basata sull'espansione del piccolo set (SSE). DOI: 10,1613 / jair.4030.

— Yixin Cao,