SAT a larghezza limitata è decidibile nello spazio di log?

Elberfeld, Jakoby e Tantau 2010 ( ECCC TR10-062 ) hanno dimostrato una versione efficiente dal punto di vista spaziale del teorema di Bodlaender. Hanno dimostrato che per i grafici con larghezza degli alberi al massimo , è possibile trovare una decomposizione dell'albero di larghezza usando lo spazio logaritmico. Il fattore costante nel limite dello spazio dipende da . (Il teorema di Bodlaender mostra un limite di tempo lineare, con una dipendenza esponenziale su nel fattore costante.) $k$ $k$ $k$ $k$

SAT diventa facile quando l'insieme di clausole ha una larghezza ridotta. In particolare, Fischer, Makowsky e Ravve 2008 hanno mostrato che la soddisfacibilità delle formule CNF con la larghezza dell'albero del grafico dell'incidenza delimitata da può essere decisa con al massimo operazioni aritmetiche quando viene data la decomposizione dell'albero. Con il teorema di Bodlaender, calcolare la decomposizione dell'albero del grafico di incidenza per fisso può essere fatto in tempo lineare, e quindi SAT può essere deciso per formule limitate di larghezza dell'albero nel tempo che è un polinomio di basso grado nel numero di variabili . $k$ $2^{O(k)} n$ $k$ $n$

Ci si potrebbe quindi aspettare che il SAT sia effettivamente decidibile usando lo spazio logaritmico, per le formule con larghezza dell'albero limitata del grafico dell'incidenza. Non è chiaro come modificare Fischer et al. approccio per decidere SAT in qualcosa di efficiente nello spazio. L'algoritmo funziona calcolando un'espressione per il numero di soluzioni, tramite l'inclusione-esclusione e valutando in modo ricorsivo il numero di soluzioni di formule più piccole. Sebbene la larghezza dell'albero limitata aiuti, le sottformule sembrano troppo grandi per essere calcolate nello spazio logaritmico.

Questo mi porta a chiedere:

SAT è noto per le formule di larghezza di albero limitata in o ? $\mathsf{L}$ $\mathsf{NL}$

— András Salamon
fonte

Il fatto che SAT in L per le istanze limitate della larghezza degli alberi non deriva direttamente dai risultati nel documento che hai citato? L'insieme di formule soddisfacenti è definibile MSO. Pertanto, la soddisfacibilità può essere risolta in tempo lineare su grafici di larghezza dell'albero limitata tramite teoremi di Bodlaender + Courcelle. Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010, mostra che le proprietà MSO possono essere decise nello spazio logaritmico su grafici di larghezza limitata degli alberi fornendo versioni dello spazio logaritmico dei teoremi di Bodlaender + Courcelle. Pertanto, SAT può essere deciso nello spazio di log su grafici di larghezza degli alberi limitata.

— Mateus de Oliveira Oliveira,

@MateusdeOliveiraOliveira, i dettagli non mi sembrano chiari. SAT è definibile da MSO tramite una struttura con due relazioni ai bordi dirette (Immerman Esempio 2.18), la cui unione conduce ai bordi del grafico dell'incidenza una volta dimenticata la direzione. Tuttavia, non mi è chiaro che sia possibile utilizzare il grafico dell'incidenza così com'è per definire la soddisfacibilità dell'MSO (tramite la copertura del set, ad esempio), in modo da poter applicare Bodlaender / Courcelle / EJT.

— András Salamon,

@ András Il teorema di Salomon Courcelle può essere affermato per grafici con vertici e bordi colorati. La larghezza dell'albero di tali grafici colorati è uguale alla larghezza dell'albero delle versioni non colorate. Esistono molti modi per modellare strutture relazionali arbitrarie come grafici colorati.

— Mateus de Oliveira Oliveira,

Nel caso delle formule si desidera definire una struttura relazionale che codifichi contemporaneamente la formula e il grafico dell'incidenza. (altrimenti, come definirebbe la soddisfacibilità in primo luogo?) Quindi, usando una nozione appropriata di larghezza dell'albero per tale struttura, abbiamo che la larghezza dell'albero della struttura (grafico Formula + Incidenza) è al massimo una costante additiva maggiore della larghezza dell'albero di solo il grafico dell'incidenza. Si noti che esistono molti modi per definire tali strutture relazionali combinate, e in sostanza ogni autore utilizza quello più adatto al proprio contesto.

— Mateus de Oliveira Oliveira,

@Mateus, grazie! Questo è un commento piuttosto utile; Non ero a conoscenza della natura "toolbox" della larghezza degli alberi nella complessità descrittiva. Vuoi trasformarlo in una risposta?

— András Salamon,

In effetti, usando i risultati di Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010 si può dimostrare che SAT può essere deciso nello spazio di log su formule il cui grafico di incidenza ha delimitato la larghezza degli alberi. Ecco uno schizzo di come vanno le fasi principali della dimostrazione di questa affermazione.

Le nozioni di decomposizione e larghezza degli alberi possono essere generalizzate a strutture relazionali arbitrarie. Vedi ad esempio le sezioni 2 e 3 di questo articolo di Dalmau, Kolaitis e Vardi.
Il teorema di Courcelle afferma che la logica MSO può essere decisa in tempo lineare su strutture relazionali di larghezza di albero costante.
$t$ $f(t)\cdot n$
$\tau$ $F$ $I$ $\tau$ $I$
$\tau$
Pertanto, con il teorema di Bodlander + Courcelle, si può decidere se una formula di larghezza di albero costante è soddisfacente nel tempo lineare.
Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010 mostrano che il "tempo lineare" può essere sostituito dallo "spazio logaritmico" sia sul teorema di Bodlaender che di Courcelle.
$\varphi$ $\tau$ $\tau$ $\varphi$
In particolare, SAT può essere determinato nello spazio di log su grafici con larghezza dell'albero costante.

— Mateus de Oliveira Oliveira
fonte