Aggiungi una corrispondenza a un percorso hamiltoniano per ridurre la distanza massima tra determinate coppie di vertici

Qual è la complessità del seguente problema?

Input :

$H$ unpercorso hamiltonianoin $K_n$
$R \subseteq [n]^2$ un sottoinsieme di coppie di vertici
un numero intero positivo $k$

Query : c'è una corrispondente $M$ tale che per ogni $(v,u) \in R$ , $d_G(v,u) \leq k$ ?
(dove $G = ([n], M\cup H)$ )

Ho avuto una discussione con un amico su questo problema. Il mio amico pensa che il problema sia in tempo polinomiale. Penso che sia NP-completo.

— PFIM
fonte

Puoi semplificarlo ulteriormente, almeno in termini di presentazione. Ti viene dato

, un percorso con

vertici e una raccolta

di coppie di questi vertici. Si desidera aumentare il percorso con una corrispondenza in modo che la distanza tra qualsiasi coppia in

sia al massimo

k

$k$

n

$n$

R

$R$

R

$R$

k

$k$

— Sasho Nikolov,

Penso che questa formulazione possa essere fonte di confusione dopo la mia ultima modifica per rimuovere alcune ambiguità.

— pfim

La mia interpretazione è corretta, vero?

— Sasho Nikolov,

Ho fatto una modifica per rendere più rigorosa la dichiarazione del problema. Penso che questo possa essere ulteriormente semplificato perché come si può semplicemente supporre che H sia il percorso Hamiltoniano 1-2-3-4-5 ...- n senza perdita di generalità. Quindi hai solo bisogno di

n

$n$

— Kaveh,

Risposte:

Questa risposta non è corretta .

Il tuo amico ha ragione. Il vostro problema (come interpretato dalla Sasho) non pone alcuna restrizione alla cardinalità del corrispondente . Quindi, scegliere essere una corrispondenza tra le coppie di . Quindi per qualsiasi numero intero positivo , la distanza tra ogni coppia in è inferiore a . $C$ $C$ $R$ $k$ $R$ $k$

Il tuo problema diventa interessante se si forza percorsi di contenere i bordi sia dal corrispondente e il percorso . $C$ $P$

— Mohammad Al-Turkistany
fonte

Cosa intendi con "corrispondenza tra le coppie in

R

$R$

— Emil Jeřábek sostiene Monica il

@ EmilJeřábek Significa collegare i nodi di ogni coppia in

con un bordo. Quindi

è solo

con un bordo che collega ogni coppia. Ciò equivale a aumentando il percorso

con una marcia perfetta sulle coppie di

R

$R$

C

$C$

R

$R$

P

$P$

R

$R$

— Mohammad Al-Turkistany,

Non sembra avere molto senso per me. E se

non corrispondesse? Dì, se

contiene le coppie

, come scegli

R

$R$

R

$R$

(1, 2)

$(1,2)$

(1, 3)

$(1,3)$

C

$C$

— Emil Jeřábek sostiene Monica

@ EmilJeřábek Sì. Il tuo punto è valido Modificherò la mia risposta.

— Mohammad Al-Turkistany,

@pfim È possibile formare il percorso più breve usando solo i bordi di

C

$C$

— Mohammad Al-Turkistany,

AGGIORNAMENTO: la risposta qui sotto non è corretta, perché ho erroneamente supposto che il percorso Hamiltoniano sia in un grafico arbitrario, non in . Lo lascio libero, forse sarò in grado di risolverlo o darà alcuni suggerimenti per un'altra risposta. $K_n$

Penso che sia NP-completo. Questa è un'idea di riduzione molto informale / rapida di 3SAT

Per ogni variabile aggiungo un "gadget variabile" con: $x_i$

tre nodi $X_i, +X_i, -X_i$
due bordi variabili e $(X_i,+X_i)$ $(X_i,-X_i)$

Aggiungi un nodo sorgente e collegalo a tutte le variabili . $S$ $X_i$

Per ogni clausola aggiungere un nodo e collegarlo alle variabili corrispondenti o che costituisce la clausola. $C_j$ $C_j$ $+X_i$ $-X_i$

L'immagine seguente rappresenta: $(+x_1 \lor -x_2 \lor -x_3) \land (-x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

L'insieme (nodi che devono essere collegati) contiene $R$ $(S, C_1), (S,C_2), ...$

Il percorso semplice dovrebbe includere tutti i bordi "BLU" tranne i bordi variabili e (nell'immagine sopra i bordi blu rappresentano i bordi che includiamo in ). $P$ $(X_i, +X_i)$ $(X_i, -X_i)$ $P$

A questo punto, la formula iniziale è soddisfacente se e solo se il percorso più breve da a ciascun nodo della clausola non è maggiore di tre. Infatti per raggiungere una clausola da in tre passaggi dobbiamo attraversare almeno una variabile : . Quindi dobbiamo attraversare uno dei due bordi: o $S$ $C_j$ $S$ $X_i$ $S \to X_i \to \pm X_i \to C_j$ $X_i \to +X_i$ e includerlo in $X_i \to -X_i)$ $C$ (perché per costruzione non fa parte di ). Ma entrambi non possono essere inclusi, perché condividono un vertice. $P$

Ma non siamo sicuri di poter costruire un semplice percorso che includa tutti i bordi blu perché alcuni nodi hanno più di un bordo blu incidente. $P$

Per risolvere questo problema, sostituiamo ogni nodo con più bordi blu incidente, con un albero che contiene solo coppie di bordi blu incidente che saranno inclusi in e bordi che li separano e che dovrebbero essere inclusi in per raggiungere i nodi della clausola: $P$ $C$

Il grafico originale diventa:

$K$ $C_j$ $S$

$C$

$P$ che attraversa ciascun vertice e ciascun bordo blu, basta aggiungere nodi extra per evitare scorciatoie tra le clausole o le variabili:

— Marzio De Biasi
fonte

Cercare di costruire un percorso che contenga tutti i bordi blu mi preoccupa: alcuni vertici hanno più di 2 bordi blu incidenti su di essi, quindi non può esserci un singolo percorso semplice inclusi tutti i bordi blu.

— Mikhail Rudoy,

Ok, grazie ... Ho completamente dimenticato quello che è un percorso semplice :-( ... ora dovrebbe essere risolto.

— Marzio De Biasi

Questo post su math.SE suggerisce che il problema potrebbe non essere NP-completo. Potrebbe essere intrattabile ma risolvibile in tempi quasipolinomiali math.stackexchange.com/questions/2218929/…

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany: vedi un difetto nell'attuale versione della risposta?

— Marzio De Biasi,

No, non vedo alcun difetto evidente.

— Mohammad Al-Turkistany,