Trovare in modo efficiente un ciclo 5 in un grafico sparso.

(crossposted da MathOverflow)

Ciao,

Stavo leggendo questa discussione: /mathpro/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length

Voglio trovare un 5 cicli in un grafico. In realtà, quello che voglio davvero è un ciclo dispari più breve di lunghezza almeno 5, ma forse questo è un po 'fuori dal punto. Per i miei scopi, mi trattano e lo stesso nell'analisi complessità. $m$ $n$

Possiamo fare di meglio della codifica a colori per trovare un ciclo 5 in questo caso? Vorrei dare una formulazione specifica della mia domanda:

Qual è il minimo tale che esiste un algoritmo -time per rilevare un ciclo di lunghezza 5? Cos'è l'algoritmo? E che cos'è questo se proibisci metodi poco pratici come la moltiplicazione a matrice rapida di Coppersmith-Winograd? $\alpha$ $O(m^\alpha)$ $\alpha$

— Andrew D. King
fonte

Crosspost da MO.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

I tuoi grafici hanno una struttura speciale, oltre ad essere sparsi? (Come la bassa degenerazione, per esempio.)

— Robin Kothari,

G

$G$

H

$H$

G = L (H)

$G=L(H)$

H

$H$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

| E (H) | = | V (G) |

$|E(H)|=|V(G)|$

| V (G) |

$|V(G)|$

| E (G) |

$|E(G)|$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

Per essere chiari, non ti dispiace se il ciclo contiene vertici ripetuti, giusto?

— user834

Non permetto vertici ripetuti, ma per un ciclo a 5 non importa perché presumo che il grafico sia semplice e quindi non abbia 2 cicli.

— Andrew D. King,

Risposte:

Per aggiungere alla risposta di Mihai:

In effetti, 5 cicli (e in generale $k$ $O(mn)$

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.101.4120

$O(m^{1.67})$

Inoltre, sebbene non sia troppo difficile ridurre il rilevamento a 5 cicli alla moltiplicazione della matrice booleana (con overhead del fattore costante), una riduzione nella direzione opposta non appare nella carta con codice colore. Una riduzione ridotta (che preserva la complessità del tempo di esecuzione) dalla moltiplicazione della matrice booleana al rilevamento a 5 cicli non è nota.

— Ryan Williams
fonte

Il caso denso è essenzialmente equivalente alla moltiplicazione della matrice booleana per codice colore. Vedi http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.5167&rep=rep1&type=pdf .

$O(mn)$ dovuto a [B. Monien, Come trovare percorsi lunghi in modo efficiente, Ann. Discrete Math., 25 (1985), pp. 239-254]. Ho il sospetto che qualcosa di meglio potrebbe essere possibile con trucchi di alto / basso livello.

— Mihai
fonte

Grazie! Darò un'occhiata al documento di Monien quando potrò accedervi.

— Andrew D. King,