Le riduzioni più interne sono perpetue nel calcolo λ non tipizzato?

(L'ho già chiesto a MathOverflow, ma non ho ricevuto risposte lì.)

sfondo

Nel calcolo lambda non tipizzato, un termine può contenere molti redexes e diverse scelte su quale ridurre possono produrre risultati selvaggiamente diversi (ad es. $(\lambda x.y)((\lambda x.xx)\lambda x.xx)$ che in un passo ( $\beta$ -) si riduce a $y$ o a se stesso). Diverse (sequenze di) scelte su dove ridurre sono chiamate strategie di riduzione . Si dice che un termine $t$ sta normalizzando se esiste una strategia di riduzione che porta $t$ alla forma normale. Si dice che un termine $t$ sia fortemente normalizzato se ogni strategia di riduzione porta $t$ alla forma normale. (Non sono preoccupato per quale, ma la confluenza garantisce che non ci può essere più di una possibilità.)

Una strategia di riduzione è detto normalizzazione (ed è in qualche modo migliore possibile) se quando $t$ ha una forma normale, allora quella dove finiremo. La strategia più a sinistra più esterna è la normalizzazione.

All'altra estremità dello spettro, si dice che una strategia di riduzione è perpetua (ed è in un certo senso la peggiore possibile) se ogni volta che c'è una sequenza di riduzione infinita da un termine $t$ , allora la strategia trova una tale sequenza - in altre parole, potremmo non riuscire a normalizzarci, quindi lo faremo.

So delle strategie di riduzione perpetuo e dati rispettivamente da: $F_\infty$ $F_{bk}$ e

\begin{array}{ll} F_{B K} (C [(λ X . S) t]) = C [S [t / X]] & Se t si sta fortemente normalizzando \\ F_{B K} (C [(λ X . S) t]) = C [(λ X . S) F_{B K} (t)] & altrimenti \end{array}

$\begin{array}{ll} F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $t$ is strongly normalizing} \\ F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_{bk}(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

(In entrambi i casi, il

-redexindicatoè quellopiùasinistranel termine

- e su forme normali ., strategie di riduzione sono necessariamente identità) La strategia

è anchemassimo- se normalità un termine, allora ha usato una lunga sequenza di riduzione possibile farlo. (Vedi ad esempio 13.4 nel libro di Barendregt.)

\begin{array}{ll} F_{\infty} (C [(λ X . S) t]) = C [S [t / X]] & Se X Si verifica S, o se t è in forma normale \\ F_{\infty} (C [(λ X . S) t]) = C [(λ X . S) F_{\infty} (t)] & altrimenti \end{array}

$\begin{array}{ll} F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $x$ occurs in $s$, or if $t$ is on normal form} \\ F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_\infty(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

β

$\beta$

C [(λ x . s) t]

$C[(\lambda x.s)t]$

F_{\infty}

$F_\infty$

$\beta$

\begin{array}{ll} L (t) = t & Se t in forma normale \\ L (λ X . S) = λ X . L (S) & per S non in forma normale \\ L (S t) = L (S) t & per S non in forma normale \\ L (S t) = S L (t) & Se S, ma no t è in forma normale \\ L ((λ X . S) t) = S [t / X] & Se S, t entrambi in forma normale \end{array}

$\begin{array}{ll} L(t) = t &\text{if $t$ on normal form}\\ L(\lambda x.s) = \lambda x. L(s) &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = L(s)t &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = s L(t) &\text{if $s$, but not $t$ is on normal form}\\ L((\lambda x. s)t) = s[t/x] &\text{if $s$, $t$ both on normal form} \end{array}$

L'intuizione naturale per la riduzione più estrema a sinistra è che farà tutto il lavoro - nessun redex può essere perso, e quindi dovrebbe essere perpetuo. Poiché la strategia corrispondente è perpetua per la logica combinatoria (non tipizzata) (le riduzioni più interne sono perpetue per tutti i TRW ortogonali), questo non sembra un ottimismo completamente libero dagli occhi blu ...

$\lambda$

Se la risposta risulta essere "no", anche un puntatore a un controesempio sarebbe molto interessante.

— Kow
fonte

Crosspost da MO.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

... come menzionato nella prima riga.

— Kow,

@kow: Sì, hai ragione, e non c'è niente di sbagliato nel crossposting :) Il link è solo per il beneficio di seguire sia i commenti che le risposte in MO, al fine di evitare una doppia risposta. Vedi la discussione su meta .

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@kow: la prossima volta che incrocerai una domanda, ti preghiamo di non dimenticare di aggiungere un link, preferibilmente in entrambe le direzioni.

— Tsuyoshi Ito,

L (L (s) t)

$L(L(s)t)$

s

$s$

L (s)

$L(s)$

L (L (s))

$L(L(s))$

$tt$ $t=(\lambda x. (\lambda y.1) (x x))$ $L$ anche se ha una riduzione infinita.

$L(tt)=L(t)t=L(\lambda x.(\lambda y.1) (x x))t=(\lambda x.L((\lambda y.1) (x x)))t=(\lambda x.1)t$ .

$F_\infty$ $F_\infty([(\lambda x.(\lambda y.1 (x x))) t]))=(\lambda y.1) (tt)$

— Radu GRIGore
fonte