Limite inferiore sul numero di percorsi "corti" in un albero radicato con dimensioni polinomiali

Sia un albero binario radicato. Ogni percorso dalla radice di T ad una foglia ha lunghezza n . Ogni nodo di T ha sempre un nodo figlio sinistro e uno destro ma è possibile che siano uguali (quindi ci sono sempre 2 n percorsi possibili). La dimensione di T è limitata da O ( p o l y ( n ) ) . Un nodo con diversi nodi figlio è chiamato nodo ramificato .$T$$T$$n$$T$$2^n$$T$$O(poly(n))$

Diciamo che due percorsi sono diversi se esiste un nodo di diramazione condiviso e un percorso va al nodo figlio sinistro e l'altro percorso al nodo figlio destro. È chiaro che esiste almeno un percorso in con nodi di diramazione O ( log n ) . In caso contrario, ci sarebbero troppi nodi in T .$T$$O(\log n)$$T$

Esiste un limite inferiore migliore sul numero di percorsi con nodi di diramazione se so che ci sono nodi di ramificazione ω ( log n ) nella struttura?$O(\log n)$$\omega(\log n)$

Il limite inferiore è percorsi con O ( log n ) nodi ramificati, se nella struttura sono presenti almeno Ω ( log n ) nodi ramificati.$\Omega(\log n)$$O(\log n)$$\Omega(\log n)$

Ciò può essere ottenuto: utilizzare un albero che ha un percorso lungo (lunghezza ) tutti i cui nodi sono nodi ramificati, senza altri nodi ramificati nella struttura.$n$

Ecco uno schizzo del limite inferiore.

Innanzitutto, compattate l'albero contraendo qualsiasi nodo interno che non sia un nodo ramificato. Se la dimensione originale dell'albero era , il nuovo albero deve essere ancora < n c , poiché hai ridotto solo il numero di nodi. Ora, la profondità di una foglia è il numero di nodi ramificati sul percorso originale di quella foglia e abbiamo un albero binario completo (ogni nodo ha un grado 2 o 0).$< n^c$$< n^c$

Se non ci sono foglie di profondità , il numero di percorsi è uno in più rispetto al numero di nodi di diramazione, che è Ω ( log n ) , quindi possiamo supporre che almeno una foglia abbia profondità Ω ( log n ) .$\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$

Quindi, ricorda la disuguaglianza di Kraft. Se la profondità di una foglia in un albero binario completo è , allora Σ v l e a f 2 - d ( v ) = 1 .$d(v)$$\Sigma_{v \mathrm{\ leaf}} 2^{-d(v)} = 1$

Ora, abbiamo meno di foglie. Vogliamo dimostrare che ne abbiamo molti a profondità O ( log n ) . Supponiamo di eliminare dalla considerazione quelli che sono almeno log 2 ( n c + 1 ) = ( c + 1 ) log 2 n . Ciò rimuove al massimo il peso 1 / n dalla somma della disuguaglianza di Kraft, quindi per quelle foglie v in profondità al massimo d ( v ) ≤ ( c $n^c$$O(\log n)$$\log_2(n^{c+1}) = (c+1) \log_2 n$$1/n$$v$ , abbiamo Σ v l o w d e p t h l e un f 2 - d ( v ) > 1 - $d(v)\leq (c+1) \log_2 n$ . Abbiamo ancheΣvlowdepthleunf2-d(v)<1(poiché almeno un'anta ha profondità troppo grande per essere inclusi in questa somma).$\sum_{v\mathrm{\ low \ depth \ leaf}} 2^{-d(v)} > 1-\frac{1}{n}$$\sum_{v\mathrm{\ low\ depth\ leaf}} 2^{-d(v)} < 1$

È abbastanza facile dimostrare che ottenere una somma di numeri rigorosamente tra 1 e 1 - $2^{-k}$$1$ , abbiamo bisogno diregistrarnealmeno2n. Questo mostra che ci sonopercorsiΩ(logn)connodi ramificatiO(logn).$1-\frac{1}{n}$$\log_2 n$$\Omega(\log n)$$O(\log n)$