Relazione quadratica tra spazio non deterministico e deterministico?

Il teorema di Savitch mostra che per tutte le funzioni abbastanza grandi , e dimostrando che questo è stretto è stato un problema aperto per decenni .$\mathrm{NSPACE}(f(n)) \subseteq \mathrm{DSPACE}(f(n)^2)$$f$

Supponiamo di affrontare il problema dall'altra parte. Per semplicità, assumere l'alfabeto booleano. La quantità di spazio utilizzata da una TM per decidere un linguaggio calcolabile è spesso strettamente correlata al logaritmo del numero di stati utilizzati dall'automa che simula la TM per ogni porzione regolare di una lingua. Questo motiva la seguente domanda.

Sia il numero di DFA distinti sintatticamente con stati e sia il numero di NFA distinti con stati. È semplice mostrare che è vicino a .$D_n$$n$$N_n$$n$$\lg N_n$$(\lg D_n)^2$

Inoltre, lascia che sia il numero di lingue regolari distinte che possono essere riconosciute da un DFA con stati e che sia il numero riconosciuto da un NFA.$D_n'$$n$$N_n'$

È noto se è vicino a ?$\lg N_n'$$(\lg D_n')^2$

Non mi è chiaro come$D_n$ e , o N n e N ′ n , siano collegati tra loro, o quanto strettamente. Se tutto ciò si riferisce a una domanda ben nota nella teoria degli automi, allora un suggerimento o un puntatore sarebbe apprezzato. La stessa domanda è rilevante anche per gli automi a due vie, a causa dello stesso ragionamento, e sono particolarmente interessato a questa versione.$D_n'$$N_n$$N_n'$

Nel mio articolo con Domaratzki e Kisman, "Sul numero di lingue distinte accettate dagli automi finiti con n stati" pubblicato in J. Automata, Languages ​​and Combinatorics 7 (2002) abbiamo dimostrato che se è il numero di lingue distinte accettate da NFA con n stati su un alfabeto k- letter e g k ( n ) è allo stesso modo il numero di lingue distinte accettate da DFA, quindi per k fissi ≥ $G_k (n)$$n$$k$$g_k (n)$$k \geq 2$

(i) è, fino a termini di ordine inferiore, asintoticamente k n log $\log g_k (n)$$kn\log n$

(ii) è, fino a termini di ordine inferiore, asintoticamente tra ( k - 1 ) n 2 e k n 2 .$\log G_k (n)$$(k-1)n^2$$kn^2$