Automi che riconoscono per un codice finito

Sia un alfabeto finito. Un codice sopra è un sottoinsieme di tale che ogni parola può essere rappresentato in modo univoco come concatenazione di parole . Un codice è finito seè finito. Cosa si sa degli automi (minimi) che riconoscono per un codice finito ? Esiste una caratterizzazione di tali automi (in termini di struttura dell'automa, senza conoscere )? È possibile, avendo un tale automa, estrarre il codice in tempo polinomiale? $\Sigma$ $X$ $\Sigma$ $\Sigma^*$ $X^*$ $X$ $X$ $|X|$ $X^*$ $X$ $X$ $X$

Sono anche interessato a queste domande quando omettiamo il fatto che sia un codice, ovvero supponiamo solo che sia un insieme finito di parole. $X$ $X$

automata-theory

— Andrew Ryzhikov
fonte

Cosa vuoi sapere su tali automi? Sembra che sia facile costruire un DFA per cui dimensioni possono essere facilmente caratterizzate (è sostanzialmente il numero di prefissi univoci di stringhe in , e quindi è al massimo la somma delle lunghezze di parole in ; in particolare , ha dimensioni polinomiali). Dato un simile DFA, sembra anche facile estrarre le parole in codice in enumerando tutti i cicli dal nodo iniziale a se stesso. Quali sono in particolare le tue domande? Che pensiero hai già fatto? Consulta la sezione "Le domande devono essere basate su ..." del nostro Centro assistenza .

X^{*}

$X^*$

X

$X$

X

$X$

X

$X$

— DW,

@DW, ovviamente, non tutti gli automi hanno questa proprietà. Quindi chiedo se esiste una caratterizzazione (si spera, polinomiale) di tali automi. Inoltre, non vedo come estrarre enumerando tutti i cicli dallo stato iniziale a se stesso. In effetti, può esserci un numero infinito di cicli, poiché non possiamo limitarci solo a cicli senza autointersezioni. Puoi per favore essere più specifico?

X

$X$

— Andrew Ryzhikov,

Se ho capito bene, mi hai chiesto degli automi minimi. Penso che tutti i DFA minimi saranno isomorfi a quello che ho descritto. Se stai chiedendo tutti gli automi, non necessariamente minimi, ti suggerisco di modificare la domanda per chiarire. Non capisco perché non puoi limitarti solo ai cicli senza autointersezioni; la proprietà priva di prefissi significa che è sicuro farlo, e se è finito, ci saranno solo finiti molti di questi cicli. Ti suggerisco di pensare al problema per un po ', quindi di modificare la domanda per condividere tutti i risultati che hai avuto fino ad ora.

X

$X$

— DW,

Questa domanda non è la stessa della prima versione di cstheory.stackexchange.com/questions/4284/… , dove e potrebbero differire, a parte il fatto che chiedi anche il tempo di esecuzione?

K

$K$

K^{'}

$K'$

— domotorp,

@domotorp Hai ragione, verificare se un insieme di parole è un codice può essere fatto in un tempo polinomiale, ed è un fatto abbastanza noto (vedi ex. www-igm.univ-mlv.fr/~berstel/LivreCodes/ Codes.html , sottosezione 0.4). Quello che voglio è, avendo solo un minimo automa che riconosce qualcosa, controlla se questo qualcosa è una stella di un codice.

— Andrew Ryzhikov,

Dal momento che questa domanda non ha ricevuto risposta per molto tempo, lasciatemi offrire una risposta parziale alla prima parte della domanda:

Cosa si sa degli automi (minimi) che riconoscono per un codice finito ? $X^∗$ $X$

Dato un insieme finito di parole , l' automa floreale di è l'automa non deterministico finito , dove , , con quattro tipi di transizioni: $X$ $X^*$ $\mathcal{A} = (Q, A, E, I, F)$ $Q = \{1, 1\} \cup \{ (u, v) \in A^+ \times A^+ \mid uv \in X \}$ $I = F = \{(1,1)\}$

\begin{aligned} (u, a v) & \overset{a}{⟶} (u a, v) such that u a v \in X, (u, v) \neq (1, 1) \\ (u, a) & \overset{a}{⟶} (1, 1) such that u a \in X, u \neq 1 \\ (1, 1) & \overset{a}{⟶} (a, v) such that a v \in X, v \neq 1 \\ (1, 1) & \overset{a}{⟶} (1, 1) such that a \in X} \end{aligned}

$\begin{align*} (u, av) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (ua, v) \text{ such that } uav \in X,\ (u, v) \neq (1,1) \\ (u, a) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (1, 1) \text{ such that } ua \in X,\ u \neq 1 \\ (1, 1) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace(a, v) \text{ such that } av \in X,\ v \neq 1\\ (1, 1) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (1, 1) \text{ such that } a \in X \bigr\} \end{align*}$ È facile vedere che questo automa riconosce . Ad esempio, se e , l'automa floreale di è il seguente

X^{*}

$X^*$

A = {a, b}

$A= \{a, b\}$

X = {a, b a, a a b, a b a}

$X = \{a, ba, aab, aba\}$

X^{*}

$X^*$

$\qquad\qquad\qquad$

Ricordiamo che un automa non è ambiguo se, dati due stati e e una parola , esiste al massimo un percorso da a con etichetta . Quindi vale il seguente risultato: $p$ $q$ $w$ $p$ $q$ $w$

Teorema [1, Thm 4.2.2]. L'insieme è un codice se l'automa del fiore di non è ambiguo. $X$ $X^*$

L'automa floreale ha anche una proprietà algebrica che lo rende relativamente vicino all'automa minimo. Questa proprietà vale per qualsiasi set finito , ma è più facile da affermare eliminando la parola vuota, ovvero considerando una lingua come un sottoinsieme di anziché . $X$ $A^+$ $A^*$

Ricordiamo che un semigruppo finito è localmente banale se, per ogni idempotente , . Un morfismo è localmente banale se per ogni idempotente in , il semigruppo è localmente banale. $R$ $e \in R$ $eRe = \{e\}$ $\pi:R \to S$ $e$ $S$ $\pi^{-1}(e)$

Il semigruppo di transizione dell'automa floreale di è chiamato semigruppo floreale di . Poiché riconosce , esiste un morfismo suriettivo da sul semigruppo sintattico di . $T$ $X^+$ $X^+$ $T$ $L^+$ $\pi$ $T$ $S$ $X^+$

Teorema . Il morfismo è localmente banale. $\pi:T \to S$

Una conseguenza importante di questo risultato è che il semigruppo del fiore e il semigruppo sintattico hanno lo stesso numero di classi regolari. $\mathcal{J}$

Riferimenti

[ 1 ] J. Berstel, D. Perrin, C. Reutenauer, Codici e automi . Enciclopedia della matematica e sue applicazioni, 129. Cambridge University Press, Cambridge, 2010. xiv + 619 pp. ISBN: 978-0-521-88831-8

— J.-E. perno
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