Divario tra e "secondo più grande"

Se è l'insieme dei tempi di arresto delle macchine Turing -state su un alfabeto binario con nastro iniziale vuoto, allora . $HT(n)$ $n$ $BB(n) = \max HT(n)$

Cosa possiamo dire del secondo numero più grande in $HT(n)$ ? Chiama questo $BB_2(n)$ .

$BB_2(n)$ è banalmente incontestabile, dal momento che consente di calcolare $BB(n)$ : basta attendere che si fermi un'altra macchina. Ingenuamente, mi aspetterei che il divario $BB(n) - BB_2(n)$ fosse "occupato come un castoro", crescendo più velocemente di qualsiasi funzione calcolabile. Questo è dimostrabile?

computability

— Geoffrey Irving
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Supponiamo che uno degli stati n non sia raggiungibile.

— Mic

@mic: non credo sia rilevante.

B B (n - 1) = B B_{2} (n)

$BB(n-1) = BB_2(n)$ sembra altamente improbabile.

— Geoffrey Irving,

Questo dipenderà dalla codifica. Se capovolgi gli stati di accettazione / rifiuto, il numero di stati rimane lo stesso, così come il tempo di arresto, il che renderebbe .

B B (n) = B B_{2} (n)

$BB(n)=BB_2(n)$

— Lance Fortnow,

Ecco perché lascio che sia l' insieme dei tempi di arresto, in modo che il divario sia diverso da zero per costruzione.

H T (n)

$HT(n)$

— Geoffrey Irving,

È anche possibile dimostrare che alla fine il divario non è 1?

— Geoffrey Irving,

-1

Il numero di stati è solo una nozione di complessità della descrizione di funzioni calcolabili in un modello, è possibile scegliere qualsiasi modello di calcolo e qualsiasi codifica di essi come stringhe binarie e quindi prendere la lunghezza come n e definire BB (n) in base a che e tutti i risultati interessanti su BB (n) sarebbero ancora veri, c'è un noioso speciale sul modello TM e sul numero di stati.
Non c'è nulla che impedisca loro di scegliere qualsiasi modello modificato di TM. Generalmente le domande che non sono invarianti in tali cambiamenti di rappresentazione delle TM non riguardano la calcolabilità o le TM ma sulla particolare rappresentazione (come BB (n) mod 2, ecc.) E, a meno che non ci sia qualche motivo particolare per cui sono interessanti, non lo fanno vale la pena perseguire imho. Sono simpatici puzzle ma non di grande valore. l Si noti che "BB (n) non è calcolabile" è invariante in caso di modifica delle rappresentazioni delle TM.
Quindi questa domanda è invariante rispetto al cambiamento di rappresentazione delle funzioni calcolabili? La risposta penso sia no.

io. Considera una rappresentazione in cui abbiamo due stati speciali 0 e 1 e 0 è iniziale e solo la transizione a 1 o 0 è irraggiungibile e 1 è iniziale. In questa codifica la differenza è 1.

ii. Prendi in considerazione un'altra rappresentazione in cui abbiamo un UTM più una parte che scrive n bit su nastro prima di passare a UTM. Quindi la domanda diventa max f (x) - 2ndmax f (x) dove i massimi sono sopra n stringhe di bit e dove f è una funzione calcolabile arbitraria. Dobbiamo solo trovare una funzione calcolabile dove questa non è calcolabile. Non ci ho pensato molto, ma il mio istinto dice che esiste una funzione così calcolabile.

— Kaveh
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Niente di tutto questo è rilevante, perché ho scelto le macchine standard di Turing come nozione di calcolo. Sono d'accordo sul fatto che ci siano alcune definizioni comuni diverse (nastro a una o due facciate, sia che il nastro inizi zero o uno speciale simbolo vuoto), ma niente come gli UTM pre-codificati che menzioni.

— Geoffrey Irving,

Usare per contare una codifica completamente diversa sarebbe una domanda diversa e molto meno interessante, poiché come dici tu puoi codificare la codifica per interrompere la domanda.

n

$n$

— Geoffrey Irving,

Vorrei metterlo in un altro modo: perché sei interessato alla risposta? È un bel rompicapo come molti altri su BB per una particolare rappresentazione delle TM ma non rivelano nulla sulla computabilità e sul calcolo. La scelta dello standard per la rappresentazione della MT era un'azione arbitraria, si sarebbe potuto scegliere la mia prima rappresentazione sopra e la risposta alla tua domanda sarebbe stata 1. Solo perché si chiama standard non la rende speciale tra le rappresentazioni.

— Kaveh,

Ciò non è diverso dal chiedere se un'equazione di Diophantienne scelta arbitrariamente E abbia una soluzione intera. Esistono infinite equazioni del genere, senza una ragione per cui si è interessati a E non è una domanda molto interessante. Quando le persone fanno domande come "la calcolabilità di BB (n) mod 2" pensano di porre domande profonde sulla computabilità mentre in realtà è più come chiedere la solubilità di un'equazione di Diophantienne scelta arbitrariamente, è solo che alcuni di loro sembrano più carini l'occhio.

— Kaveh,

Sono interessato perché credo che la risposta sia la stessa per tutte le codifiche non degradate: non è dimostrabile, non è dimostrabile non è dimostrabile, ecc. Ma non so come esprimerlo, quindi ne ho scelto uno. Il fatto che sia banale per codifiche appositamente scelte è simile al problema dell'arresto risolvibile per le macchine ferme per costruzione.

— Geoffrey Irving,