Matrice bilanciata esplicita

È possibile creare una matrice esplicita con tale tale che ogni contenga meno di ? $N \times N$ $0/1$ $N^{1.5}$ $N^{0.499} \times N^{0.499}$ $N^{0.501}$

O probabilmente è possibile costruire un set di colpi esplicito per tale proprietà.

È facile vedere che la matrice casuale ha questa proprietà con probabilità esponenzialmente vicino a . Inoltre, l'espansione che mescola lemma non è sufficiente per derivare questa proprietà. $1$

Immagino che generatori pseudocasuali che ingannano i rettangoli combinatori potrebbero aiutare qui, ma sono progettati per distribuzioni uniformi e fondamentalmente ho bisogno di qui. $B(N^2, N^{-0.5})$

— ilyaraz
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È una domanda interessante: sono curioso di sapere la motivazione.

— Suresh Venkat,

@Suresh Deriva dalla non estraibilità quantitativa delle informazioni reciproche. Se sei interessato, posso elaborare.

— ilyaraz,

Lo sono davvero. puoi inviarmi un'e-mail (sureshv@gmail.com) se è più facile in questo modo.

— Suresh Venkat,

Risposte:

Quello che stai cercando è un estrattore a un bit per due fonti indipendenti: una funzione , tale che, a condizione che X, Y siano variabili casuali con min -entropia 0,499 * log (N), E (X, Y) è quasi bilanciato. $E:[N]\times [N]\to \{0,1\}$

È un noto problema difficile. Per i parametri che desideri, credo che sia stato risolto da Bourgain. Vedi qui: http://www.cs.washington.edu/homes/anuprao/pubs/bourgain.pdf

— Dana Moshkovitz
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Bourgain dà il bias per alcuni . Non sono sicuro che l'analisi possa dare . Se fossi in te, lo studierei e controllerei. Puoi anche chiedere ad Anup Rao, Zeev Dvir, Avi Wigderson o a qualsiasi altra persona che ha lavorato a questo problema.

p = N^{- α}

$p=N^{-\alpha}$

α > 0

$\alpha>0$

α = 1 / 2

$\alpha = 1/2$

— Dana Moshkovitz,

@ilyaraz: Quando tu (o chiunque) scopri se la costruzione di Bourgain dà una matrice desiderata o no, ti preghiamo di condividere (a meno che non ti dispiaccia)!

— Tsuyoshi Ito,

questo è stato un interrogativo molto interessante. Secondo la richiesta di Tsuyoshi.

— Suresh Venkat,

Rileggendo la domanda e la risposta (è stato un po 'di tempo fa ..), penso di non aver notato che l'interrogatore voleva solo N ^ {1.5}, il che corrisponde all'estrazione di un bit che è 1 con probabilità N ^ {-0.5} anziché un bit bilanciato. Tuttavia, penso che il riferimento agli estrattori a due fonti sia utile. Posso immaginare che tecniche simili sarebbero utili per l'impostazione della domanda.

— Dana Moshkovitz,

1) Se un estrattore emette k bit quasi uniformi, in particolare è possibile ottenere un bit che è 1 con probabilità ~ 1/2 ^ k. 2) Questo è piuttosto dispendioso, e mi sembra una bella domanda di ricerca per trovare un modo più efficiente per generare tali bit.

— Dana Moshkovitz,

Questa risposta si basa sull'idea di Dana nella sua risposta sopra.

Penso che tu possa costruire una tale matrice usando condensatori con perdita a due fonti. Correggi e pronuncia . Supponiamo di avere una funzione esplicita che accetta due sorgenti casuali indipendenti , ciascuna della lunghezza e con entropia minima almeno e genera un sequenza di bit che è -close a una distribuzione con min-entropia almeno . Penso che puoi usare gli argomenti probabilistici standard per mostrare che una funzione casuale soddisfa queste proprietà (con probabilità schiacciante) se $\delta = 0.001$ $N=2^n$ $f(x,y)$ $(X, Y)$ $n$ $k = n(1/2 - \delta)$ $n' = n/2$ $\epsilon$ $k'=n(1/2-3\delta)$ $2k > k'+\log(1/\epsilon)+O(1)$ . L'argomento probabilistico dovrebbe essere simile a quello utilizzato nel seguente documento per condensatori senza perdita e conduttori più generali:

M. Capalbo, O. Reingold, S. Vadhan, A. Wigderson. Conduttori di casualità ed espansione a grado costante oltre la barriera di grado / 2

Nel nostro caso, impostiamo , quindi siamo sicuri dell'esistenza della funzione di cui abbiamo bisogno. Ora, un argomento in media mostra che esiste una stringa bit tale che il numero di con sia almeno . Supponiamo che tu conosca tale e risolvilo (puoi scegliere qualsiasi arbitraria se sai anche che la tua funzione mappa la distribuzione completamente uniforme su una distribuzione che è -close to uniform). Ora identifica le voci della tua matrice con le possibilità di e metti un $\epsilon = 2^{-k'}$ $n'$ $z$ $(x,y)$ $f(x,y)=z$ $2^{1.5 n}$ $z$ $z$ $O(2^{-n/2})$ $N \times N$ $(x,y)$ $1$ nella posizione iff . Con la nostra scelta di , questa matrice ne ha almeno . $(x,y)$ $f(x,y)=z$ $z$ $2^{1.5n}$

Ora prendi una qualsiasi sottomatrix e lascia che siano distribuzioni uniformi rispettivamente sulle righe e sulle colonne selezionate. Con la scelta di , sappiamo che è -close di avere min-entropia . Pertanto, se scegliamo una voce uniformemente casuale della matrice secondaria, la probabilità di avere un è al massimo . Ciò significa che hai al massimo quelli nella sottotrix, come desiderato. $2^k \times 2^k$ $X, Y$ $f$ $f(X,Y)$ $\epsilon$ $k'$ $1$ $2^{-k'}+\epsilon\leq 2^{-k'+1}$ $2^{2k-k'+1} = O(2^{n/2 + \delta})$

Ovviamente trovare una esplicita con i parametri desiderati (in particolare una lunghezza di uscita quasi ottimale) è un compito molto impegnativo e finora non si conosce tale funzione. $f$

— MCH
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