Iscrizione monoidale di transizione per DFA

Dato un DFA completo , possiamo definire una raccolta di funzioni per ciascuna e con , . Possiamo generalizzare questa nozione a una parola e dove indica la composizione della funzione. Inoltre denotiamo e è monoide.$A=(Q, \Gamma, \delta, F)$$f_a$$a\in \Gamma$$f_a:Q\rightarrow Q$$f_a(q)=\delta(q, a)$$w=a_1, \cdots, a_m$$f_w=f_{a_1}\circ \cdots \circ f_{a_m}$$\circ$$G=\{f_w\mid w\in \Gamma^*\}$$G$

[ è di solito chiamato monoid di transizione nel libro di testo standard, ma qui riproduco la definizione per chiarezza.]$G$

La domanda è, data una funzione , possiamo decidere (idealmente in tempo polinomiale), e se questo è il caso (cioè, esiste una tale che ), se è solo polinomialmente lungo o può essere esponenzialmente lungo? $f:Q\rightarrow Q$$f\in G$$w$$f=f_w$$w$

[Suppongo che davvero una parola del genere potrebbe essere esponenzialmente lunga, ma sto cercando un semplice esempio.]

decidibilità

È decidibile Esistono solo molte funzioni possibili , quindi puoi modellarlo come un problema di raggiungibilità del grafico, con un vertice per funzione e un bordo da se esiste tale che . Quindi, verificare se una funzione è in riduce a verificare se è raggiungibile nel grafico da . Puoi trovare la parola più breve usando breadth-first time. Il tempo di esecuzione potrebbe essere esponenziale in , però.g → h a ∈ Γ h = f a ∘ g g G g f ϵ$f:Q \to Q$$g \to h$$a \in \Gamma$$h = f_a \circ g$$g$$G$$g$$f_\epsilon$$Q$

Lunghezza della parola

La parola più breve potrebbe essere esponenzialmente lunga. Ecco un esempio di tale DFA. Lascia che siano i primi numeri primi. Quindi uno stato avrà la forma cui e . Definire un DFA con alfabeto unario e la funzione di transizione . Viene data la funzione di$p_1,\dots,p_k$$k$$(i,x)$$i \in \{1,\dots,k\}$$x_i \in \{0,1,\dots,p_i-1\}$$\Gamma=\{0\}$$\delta((i,x),0 = (i,x+1 \bmod p_i)$$f_0 :Q \to Q$

$$f_0(i,x) = (i,x+1 \bmod p_i).$$

Ora considera la funzione data da$g:Q \to Q$

$$g(i,x) = (i,x-1 \bmod p_i).$$

È possibile usare il teorema del resto cinese per mostrare che dove e che è la parola più breve. Inoltre, , quindi è esponenziale di grandi .$g = f_{0^n}$$n=p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k -1$$0^n$$|Q|= p_1 + \dots + p_k$$n$$Q$

Di conseguenza, non c'è speranza per un algoritmo del tempo polinomiale che emetta una parola del genere. Ciò lascia comunque aperta la possibilità di un algoritmo temporale polinomiale per decidere se è in , comunque.$g$$G$