Quali giochi 2P1R sono potenzialmente acuti?

I giochi one-round a due prover (2P1R) sono uno strumento essenziale per la durezza di approssimazione. In particolare, la ripetizione parallela di giochi a un round a due proverbi offre un modo per aumentare le dimensioni di un gap nella versione decisionale di un problema di approssimazione. Vedi il discorso del sondaggio di Ran Raz al CCC 2010 per una panoramica dell'argomento.

La ripetizione parallela di un gioco ha la proprietà sorprendente che mentre un verificatore randomizzato opera in modo indipendente, i due giocatori possono giocare in modo non indipendente per ottenere un successo migliore rispetto a giocare in modo indipendente. La quantità di successo è limitata dal teorema della ripetizione parallela di Raz:

Teorema : esiste una costante universale $c$ modo che per ogni gioco 2P1R $G$ con valore $1-\epsilon$ e dimensione della risposta $s$ , il valore del gioco di ripetizione parallelo $G^n$ è al massimo $(1-\epsilon^c)^{\Omega(n/s)}$ .

Ecco uno schema sul lavoro di identificazione di questa costante $c$ :

• Il documento originale di Raz risulta $c \leq 32$ .
• Holenstein ha migliorato questo valore in $c \leq 3$ .
• Rao ha dimostrato che $c' \leq 2$ sufficiente (e la dipendenza da $s$ viene rimossa) per il caso speciale dei giochi di proiezione.
• Raz ha dato una strategia per il gioco del ciclo dispari che ha mostrato che il risultato di Rao è forte per i giochi di proiezione.

Da questo corpus di lavoro, conosciamo $2 \leq c\leq 3$ . Le mie due domande sono le seguenti:

Domanda 1: gli esperti in questo settore hanno un consenso per il valore esatto di $c$ ?

Se si pensa che $c > 2$ , ci sono giochi specifici che non sono proiettivi, ma violano anche in modo specifico le proprietà extra dei giochi di proiezione richieste dalla dimostrazione di Rao.

$c > 2$

Dalla mia lettura, sembra che la proprietà più importante dei giochi di proiezione che Rao usa sia che una buona strategia per la ripetizione parallela non userebbe molte delle possibili risposte per certe domande. Questo è in qualche modo legato alla località dei giochi di proiezione.

Tendo a credere che c = 3 sia la risposta giusta per il caso generale e che dovrebbe essere possibile fare un esempio. Dovrò pensarci di più per sapere con certezza. È una buona domanda e non conosco il lavoro esistente al riguardo.

La ricerca si è recentemente concentrata su quali tipi di giochi hanno (il migliore possibile) c = 1, principalmente a causa delle possibili applicazioni all'amplificazione di giochi unici.

• Barak et al. Hanno generalizzato il controesempio di Raz a tutti i giochi unici con lacune SDP.
• Raz e Rosen hanno dimostrato che per i giochi di proiezione in espansione c = 1. Ci sono anche risultati precedenti di un super set di quegli autori per giochi gratuiti.

Per far funzionare le cose, ho un potenziale gioco e vorrei un feedback.

$k \geq 2$$m$$3k+1$$m \not\equiv 0 {\pmod {k+1}}$$C_{m}^k$$k+1$$C_m^k$$m$$m$$k$$k+1$$C_m^{k}$$\{1,\dots,k\}$ e colorando i numeri in questo ordine, poiché ogni serie di interi sequenziali in forma una cricca. Poiché non è un multiplo di , ci sarà qualche punto in cui questa colorazione fallisce.$\{0,\dots,m-1\}$$k+1$$\{0,\dots,m-1\}$$m$$k+1$

Il verificatore richiede un singolo vertice da entrambi i giocatori, per verificare che i colori corrispondano, o chiede un bordo per verificare che i colori siano diversi.

Credo che questo sia un buon esempio per due motivi:

1. È abbastanza simile al gioco del ciclo dispari che una strategia potrebbe essere costruita in modo simile al limite inferiore di Raz. Una parte importante di questa strategia è scegliere casualmente i coloranti tra le ripetizioni usando la casualità condivisa.

2. Randomizzando le permutazioni utilizzate nei coloranti generati casualmente, il numero di risposte fornite a ciascun vertice abbraccia l'intero set di risposte in modo uniforme, attaccando la strategia di Rao.

Questo gioco è già stato considerato / risolto?