Distribuire una relazione binaria in bin in modo tale che ogni elemento si trovi in un piccolo numero di bin

Ci vengono date coppie di oggetti (diciamo numeri). Ogni oggetto appare al massimo in $q$ coppie. Il nostro obiettivo è quello di distribuire le coppie in contenitori di uguali dimensioni, in modo tale che ogni oggetto si presenti nel minor numero possibile di contenitori diversi.

Più precisamente, siamo interessati a una funzione $f$ con la proprietà che per ogni relazione binaria con coppie $m$ con al massimo $q$ coppie per oggetto, esiste una distribuzione delle coppie ai contenitori $p$ , in modo tale che ogni contenitore riceva coppie $m/p$ ( $p$ dovrebbe dividere $m$ ) e nessun oggetto si presenta in più di $f(m,q,p)$ .

Questa domanda è emersa nella nostra ricerca sulla valutazione di query parallele. Ci si aspetterebbe che $m$ sia grande rispetto a $p$ . La dimensione "giusta" di $q$ è meno chiara. Una dimensione interessante per $q$ potrebbe essere, ad esempio, $\sqrt{\frac{m}{p}}$ . Sarebbe utile ancheuna funzione che non dipende da $q$ , ma che funziona solo per un certo intervallo di $q$ (ma non $q=O(1)$ ).

In realtà, stiamo seguendo i limiti del modulo $p^{1-\epsilon}$ , con $\epsilon>0$ più grande possibile ...

combinatorics

— Thomas S
fonte

Nella terminologia del grafico: dato un numero intero

e un grafico

con bordi

, con ogni vertice che ha grado al massimo

, trova i sottografi

dove

, tale che

p

$p$

G = (V, E)

$G=(V,E)$

m

$m$

q

$q$

p

$p$

G_{1}, G_{2}, \dots, G_{p}

$G_1, G_2, \ldots, G_p$

G_{i} = (V_{i}, E_{i})

$G_i=(V_i, E_i)$

V = ⋃_{i} V_{i}

$V=\bigcup_i V_i$

{E_{i}}_{i}

$\{E_i\}_i$

E

$E$

p

$p$

m / p

$m/p$

v \in V

$v\in V$

k

$k$

(max_{v} | {i : v \in V_{i}} | \leq k)

$(\max_v |\{i : v\in V_i\}| \le k)$

k

$k$

k

$k$

m

$m$

p

$p$

q

$q$

Giusto. In termini di grafici. La risposta alla domanda è: . In effetti, come scritto sopra, siamo interessati ai limiti del modulo e non abbiamo alcun limite per .

p

$p$

p^{1 - ϵ}

$p^{1-\epsilon}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

— Thomas S,

Un caso speciale per iniziare: lascia che sia un numero intero dispari. Si può partizionare spigoli del grafico completo in sottogruppi di dimensioni tale che, per ciascun vertice, il numero di sottoinsiemi contigui contorni di quel vertice sia , per alcuni ? Scommetto sì per qualsiasi --- prendi sottoinsiemi di vertici casuali di dimensioni ciascuno. Quindi con alta probabilità ogni vertice si trova in circa dei sottoinsiemi di vertici e ogni coppia è in circa

n \geq 1

$n \ge 1$

(\binom{n}{2})

$n\choose 2$

K_{n}

$K_n$

n

$n$

(n - 1) / 2

$(n-1)/2$

O (n^{1 - ϵ})

$O(n^{1-\epsilon})$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

ϵ < 1 / 2

$\epsilon<1/2$

n

$n$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

(i, j)

$(i,j)$

n^{1 - 2 ϵ}

$n^{1-2\epsilon}$ dei sottoinsiemi. Ora assegna le coppie ai sottoinsiemi ...

— Neal Young,

In questo caso, i nodi possono essere prima distribuiti in insiemi di dimensioni (si pensi agli intervalli). Quindi ogni bin ottiene il prodotto di due di questi set (sto prendendo in considerazione il grafico diretto completo, che è più facile da dichiarare e asintoticamente non molto diverso). Quindi, ogni vertice si verifica in bin, ovvero in questo caso.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

I \times J

$I\times J$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

ϵ = \frac{1}{2}

$\epsilon=\frac{1}{2}$

— Thomas S,

Per il grafico a stella ( bordi incidenti a un vertice ) il vertice deve trovarsi in ciascuno dei sottografi , quindi in quel caso un limite inferiore a non è possibile. Immagino sia per questo che limiti il massimo grado ? Forse potresti dire qualcosa di più definitivo al riguardo, dal momento che sembra essere un presupposto cruciale. Nel frattempo, ho lasciato un'osservazione (non una risposta, ma troppo grande per adattarsi come commento!) Come risposta di seguito.

n - 1

$n-1$

r

$r$

r

$r$

p

$p$

p

$p$

q

$q$

— Neal Young,

Questa non è una risposta È solo l'osservazione alquanto banale che WLOG è in grado di allentare il requisito che ci siano esattamente sottoinsiemi edge esattamente della stessa dimensione, e invece cerchi solo un numero qualsiasi di sottoinsiemi edge di dimensione . Forse questo aiuta a pensare al problema. $p$ $\{E_i\}_i$ $O(\textsf{the desired size})$

Correggi qualsiasi grafico e numero intero . Sia $G=(V,E)$ $p\ge 1$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

Lemma. Supponiamo che ci siano sottografi tali che partizioni in (qualsiasi numero di) parti di dimensioni . Sia essere il numero massimo di parti in cui si trova qualsiasi vertice. $\{G'_j=(V'_j,E'_j)\}_j$ $\{E'_j\}_j$ $E$ $O(s)$

M = max_{v \in V} | {j : v \in V_{j}^{'}} |

$M = \max_{v\in V} |\{j : v\in V'_j\}|$

Poi ci sono sottografi tali che partiziona in esattamente parti ciascuna di dimensioni al massimo e $p$ $\{G_i=(V_i,E_i)\}_i$ $\{E_i\}_i$ $E$ $p$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

max_{v \in V} | {i : v \in V_{i}} | = O (M) .

$\max_{v\in V} |\{i : v\in V_i\}| = O(M).$

Prova. A partire dalla sequenza , sostituisci ogni parte nella sequenza con qualsiasi sequenza ordinata dei bordi contenuti in quella parte. Sia la sequenza risultante (una permutazione di tale che ogni parte è un "intervallo" dei bordi in la sequenza). Ora partizionare questa sequenza in sottosequenze contigue in modo tale che ogni tranne l'ultimo ha una dimensione , e lasciare che contiene i bordi della esima sottosequenza contigua. (Così $E'_1, E'_2, \ldots, E'_{p'}$ $E'_j$ $e_1, e_2, \ldots, e_m$ $E$ $E'_j$ $\{e_a, e_{a+1}, \ldots, e_b\}$ $p$ $s$ $E_i$ $i$ $E_i = \{e_{i\,s+1}, e_{i\,s+1}, \ldots, e_{(i+1)s}\}$ per .) $i<p$

ogni parte abbia dimensioni , e in base alla progettazione ogni parte eccezione dell'ultima parte abbia dimensione , quindi (a causa del modo è definito) i bordi in ogni data parte sono divisi in parti in . Questo e il presupposto che ogni vertice si presenti al massimo in delle parti in , implica che ogni vertice si verifica al massimo in delle parti in . QED $E'_j$ $O(s)$ $E_j$ $E_p$ $s$ $\{E_i\}_i$ $E'_j$ $O(1)$ $\{E_i\}_i$ $M$ $\{E'_j\}_j$ $O(M)$ $\{E_i\}_i$

— Neal Young
fonte

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Distribuire una relazione binaria in bin in modo tale che ogni elemento si trovi in un piccolo numero di bin