Qualsiasi numero trascendentale calcolabile calcolabile in P time ma non

C'è un noto numero trascendente calcolabile tale che il suo ° cifra è calcolabile in tempo polinomiale, ma non in ? $n$ $O(n)$

cc.complexity-theory comp-number-theory

— XL _At_Here_There
fonte

Non ha ancora senso. Vuoi dire "... ma non nel tempo

", o cosa?

O (n)

$O(n)$

— Emil Jeřábek,

Intendo in P time e non in

. Non sono sicuro che il mio inglese sia sbagliato o il tuo, comunque grazie per il tuo commento.

O (n)

$O(n)$

— XL _At_Here_Chere

Se l'autore riesce a formulare questa domanda in inglese leggibile, allora potrebbe essere correlato alla congettura di Hartmanis-Stearns: ogni numero reale calcolato da una macchina di Turing multitape in tempo reale è trascendentale o razionale.

— Gamow,

@Gamow giusto ， ma esclude il caso della congettura di Hartmanis-Stearns.

— XL _At_Here_Chere

Ho cercato di renderlo comprensibile, ma non è ancora molto chiaro. Vuoi dire che non è noto che sia calcolabile in

o che non sia dimostrabile in

? Qual è il modello di calcolo: macchina di Turing singola o multitape o qualcos'altro?

O (n)

$O(n)$

O (n)

$O(n)$

— Sasho Nikolov,

Risposte:

Ecco la costruzione di un tale numero. Puoi discutere se questo significa che un tale numero è "noto".

Prendere qualsiasi funzione da a dove il 'th cifre non è calcolabile in tempo. Tale funzione esiste, ad esempio, con la solita tecnica di diagonalizzazione. Interpretare come la 'th cifra decimale di qualche numero reale . Ora, per ogni della forma , , cambia le cifre di $f$ $\mathbb{N}$ $\{ 1, 2, \ldots, 8 \}$ $n$ $O(n)$ $f(n)$ $n$ $\alpha$ $n$ $2^{2^k}$ $k \geq 1$ $\alpha$ nelle posizioni a 's. Il numero risultante mantiene evidentemente la proprietà che la '-esima cifra non è calcolabile in tempo, ma ha infinite ottime approssimazioni da razionali, dico ordine , del modulo . Quindi secondo il teorema di Roth non può essere algebrico. (Non è razionale perché ha blocchi arbitrariamente lunghi di $n, n+1, \ldots, 3n$ $0$ $\beta$ $n$ $O(n)$ $O(q^{-3})$ $p/q$ $\beta$ $0$ è partito da nonzeros su entrambi i lati.)

— Jeffrey Shallit
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Più in generale, per qualsiasi costante , ci sono numeri trascendenti calcolabili nel tempo polinomiale, ma non nel tempo . $k\ge1$ $O(n^k)$

$L_0\in\mathrm E$ $O(2^{kn})$ $L\subseteq\{0,1\}^*$ $w\in L$ $3$

$L_1$ $L_0$ $w\in\{0,1\}^*$ $N(w)$ $1w$ $L_1=\{a^{N(w)}:w\in L_0\}$ $L_1\in\mathrm P$ $L_1$ $O(n^k)$ $L_1$ $m$ $L_1$ $a^n$ $2^{3m+1}\le n<2^{3m+3}$

α = \sum {2^{- n} : a^{n} \in L_{1}} .

$\alpha=\sum\{2^{-n}:a^n\in L_1\}.$

2

$2$

$\alpha$ $n$ $a,a^2,\dots,a^n$ $L_1$ $O(n^k)$ $n$ $a^n\in L_1$

$m$

p = \sum {2^{2^{3 m + 1} - n} : n \in L_{1}, n < 2^{3 m + 1}} = ⌊ α 2^{2^{3 m + 1}} ⌋,

$p=\sum\{2^{2^{3m+1}-n}:n\in L_1,n<2^{3m+1}\}=\lfloor\alpha2^{2^{3m+1}}\rfloor,$

q = 2^{2^{3 m + 1}}

$q=2^{2^{3m+1}}$

| α - \frac{p}{q} | \leq 2^{- 2^{3 m + 3}} = q^{- 4} .

$\left|\alpha-\frac pq\right|\le2^{-2^{3m+3}}=q^{-4}.$

α

$\alpha$

4

$4$

— Emil Jeřábek
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Vedo che sono stato raccolto. Lascerò comunque la risposta, poiché potrebbe essere utile per qualcuno.

— Emil Jeřábek,

Ho scelto il post di Jeffrey come risposta alla domanda, poiché la sua risposta è stata pubblicata in precedenza.

— XL _At_Here_Chere

Sì. La prossima volta mi ricorderò di non preoccuparmi di perdere tempo e fatica a scrivere una risposta approfondita con tutti i dettagli tecnici, poiché è apparentemente più prezioso pubblicare qualche minuto prima.

— Emil Jeřábek,

: D, fantastico! Spero di poter godere di più argomenti.

— XL _At_Here_Chere