Panoramica di alto livello del metodo di approssimazioni di Razborov

9

Qual è il metodo di approssimazioni di Razborov? Qualcuno può fornire una panoramica di alto livello e l'intuizione alla base?

cc.complexity-theory circuit-complexity

— alex
fonte

4

Se vuoi guardare una lezione sull'argomento, Tim Gowers lo copre nelle sue lezioni sulla teoria della complessità: sms.cam.ac.uk/collection/545358

— Robin Kothari,

6

Sia una funzione booleana su -bits. Sia . Sia un circuito su n bit e delle dimensioni cancelli . indica anche la funzione su -bit calcolata dal sottocircuito con come ultima porta. Le prime porte sono per l'ingresso $f$ $n$ $Z = f^{-1}(0) \subseteq 2^n$ $C$ $m$ $g_1, \ldots, g_m$ $g_i$ $n$ $g_i$ $n$ $x_1, \ldots, x_n$ . L'obiettivo è mostrare che di dimensione non può calcolare . Considerare tutti i calcoli di in input da . Un calcolo assegna valori alle uscite delle porte. Sia l'algebra booleana di . $C$ $m$ $f$ $C$ $Z$ $B$ $P(Z)$

L'idea è quella di considerare per qualsiasi funzione su -bits quanto bene approssima su . Let . $g$ $n$ $f$ $Z$ $||g|| = \{w \in Z \mid g(w) \neq 0 \}$

Per un ultrafiltro possiamo definire un nuovo calcolo per ultraprodotto da esso: iff . Poiché un ultrafiltro è essenzialmente un insieme di calcoli coerenti per valori 0, il risultante è un calcolo valido. Seguirà che . Abbiamo creato un nuovo calcolo da quelli esistenti. Poiché tutti gli ultrafiltri su set finiti sono i principali $F \subseteq B$ $c(g_i) = 0$ $||g_i|| \not\in F$ $c$ $f(c_1, \ldots, c_n) = 0$ . Questo funziona per qualsiasi circuito, non abbiamo sfruttato il fatto che il circuito è di dimensioni . $c_1,\ldots,c_n \in Z$ $m$

L'idea successiva è ora quella di sfruttare la finezza del circuito per costruire un nuovo input esterno a e ma il circuito non si accorge a causa delle sue dimensioni limitate e quindi continua a produrre 0. Quindi non viene calcolato . $Z$ $f(w) \neq 0$ $f$

Abbiamo bisogno di rilassare la definizione di ultrafilter in modo che possiamo ottenere un ingresso esterno . Al posto degli ultrafiltri utilizziamo sottoinsiemi di chiusi verso l'alto ( e implica ) che preserva incontra ( implica ). $Z$ $B$ $a \in F$ $a \subseteq b$ $b \in F$ $a,b \in F$ $a \cap b \in F$

Sia . è l'insieme di ingressi coerenti con . Se è primo ( implica $W_F = \{w \in 2^n \mid w_i = 0 \to ||\lnot x_i|| \in F, w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F\}$ $W_F$ $F$ $F$ $a \cup b \in F$ $a \in F$ oppure ) e nonfull ( ) quindi per ogni , contiene o e contiene solo un singolo input. $b \in F$ $\emptyset \not\in F$ $i$ $F$ $||x_i||$ $||\lnot x_i||$ $W_F$

Rilasseremo la conservazione degli incontri. Al posto di tutti gli incontri dell'algebra booleana ne conserveremo un piccolo numero. Let sia il numero più piccolo di incontra tale che per ogni alto-chiuso, nonfull, -preserving , . $|f|$ $k$ $M = (a_1 \cap b_1, \ldots, a_k \cap b_k)$ $M$ $F$ $W_F \subseteq Z$

Sia la complessità del circuito di . Razborov ha dimostrato che $m$ $f$ . $\frac{1}{2}|f| \leq m \leq O(|f|^3 + n^3)$

Si noti che questa disuguaglianza vale per tutte le funzioni. Per dimostrare una taglia circuito limite inferiore mostrano che per ogni -meets , c'è una che soddisfi le condizioni ma la sua non è contenuto in . Inoltre, con questo metodo è possibile provare qualsiasi limite inferiore del circuito forte a causa della seconda disuguaglianza. $m$ $m$ $M$ $F$ $W_F$ $Z$

La parte reale di un circuito prova limite inferiore è di mostrare che per proposta , per ogni -meets c'è una tale . Nel caso di circuiti monotoni la condizione relativa a semplifica in quindi trovare è più facile. $m$ $m$ $F$ $W_F$ $w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F$ $F$

Alexander Razborov, Sul metodo di approssimazione, 1989. pdf

Mauricio Karchmer, On Proving Lower Bounds for Circuit Size, 1995.

Tim Gowers, metodo di approssimazione di Razborov, 2009. pdf

— peso
fonte

3

Cosa è

? È

?

| f |

$|f|$

k

$k$

— Emil Jeřábek,

0

Dichiarazione di non responsabilità : questa è solo una panoramica di alto livello intesa a fornire alcune intuizioni ai metodi utilizzati nel recente documento di Blum.

Tenterò di usare una notazione più vicina a quella usata nel documento sopra citato.

$f$ $n$ $x_1,\dots,x_n$ $f$

$\beta$ $f$

$\beta$ $g_1,g_2,\dots,g_m$
$t=1,\dots,m$ $g_t$ $f_{g_t}$ $g_t$ $g_m$

$g_m$ $f_{g_m}$

$T\subseteq \{0,1\}^n$

Supponiamo di poter provare le seguenti affermazioni:

$e$ $T$
$f$ $f_{g_m}$ $f_{g_m}\neq f$ $d$ $T$

$\beta$ $\tfrac{d\lvert T\rvert}{e}$

$\beta$ $f$ $f$

— alw
fonte

Non credo che questo risponda alla domanda, la domanda non fa nulla su quella bozza.

— Kaveh,

@Kaveh che è giusto. Potrei aver erroneamente supposto, a causa della tempistica della domanda, che si stesse chiedendo di questa tecnica in relazione al documento.

— sempre il