Qual è il metodo di approssimazioni di Razborov? Qualcuno può fornire una panoramica di alto livello e l'intuizione alla base?
Qual è il metodo di approssimazioni di Razborov? Qualcuno può fornire una panoramica di alto livello e l'intuizione alla base?
Risposte:
Sia una funzione booleana su n -bits. Sia Z = f - 1 ( 0 ) ⊆ 2 n . Sia C un circuito su n bit e delle dimensioni me cancelli g 1 , … , g m . g i indica anche la funzione su n -bit calcolata dal sottocircuito con g i come ultima porta. Le prime n porte sono per l'ingresso x 1 , ... , x n. L'obiettivo è mostrare che di dimensione m non può calcolare f . Considerare tutti i calcoli di C in input da Z . Un calcolo assegna valori alle uscite delle porte. Sia B l'algebra booleana di P ( Z ) .
L'idea è quella di considerare per qualsiasi funzione su n -bits quanto bene approssima f su Z . Let | | g | | = { w ∈ Z ∣ g ( w ) ≠ 0 } .
Per un ultrafiltro possiamo definire un nuovo calcolo per ultraprodotto da esso: c ( g i ) = 0 iff | | g i | | ∉ F . Poiché un ultrafiltro è essenzialmente un insieme di calcoli coerenti per valori 0, il risultante c è un calcolo valido. Seguirà che f ( c 1 , … , c n ) = 0 . Abbiamo creato un nuovo calcolo da quelli esistenti. Poiché tutti gli ultrafiltri su set finiti sono i principali c . Questo funziona per qualsiasi circuito, non abbiamo sfruttato il fatto che il circuito è di dimensioni m .
L'idea successiva è ora quella di sfruttare la finezza del circuito per costruire un nuovo input esterno a e f ( w ) ≠ 0 ma il circuito non si accorge a causa delle sue dimensioni limitate e quindi continua a produrre 0. Quindi non viene calcolato f .
Abbiamo bisogno di rilassare la definizione di ultrafilter in modo che possiamo ottenere un ingresso esterno . Al posto degli ultrafiltri utilizziamo sottoinsiemi di B chiusi verso l'alto ( a ∈ F e a ⊆ b implica b ∈ F ) che preserva incontra ( a , b ∈ F implica a ∩ b ∈ F ).
Sia . W F è l'insieme di ingressi coerenti con F . Se F è primo ( a ∪ b ∈ F implica a ∈ Foppure ) e nonfull ( ∅ ∉ F ) quindi per ogni i , F contiene | | x i | | o | | ¬ x i | | e W F contiene solo un singolo input.
Rilasseremo la conservazione degli incontri. Al posto di tutti gli incontri dell'algebra booleana ne conserveremo un piccolo numero. Let sia il numero più piccolo k di incontra M = ( a 1 ∩ b 1 , ... , un k ∩ b k ) tale che per ogni alto-chiuso, nonfull, M -preserving F , W F ⊆ Z .
Sia la complessità del circuito di f . Razborov ha dimostrato che 1.
Si noti che questa disuguaglianza vale per tutte le funzioni. Per dimostrare una taglia circuito limite inferiore mostrano che per ogni m -meets M , c'è una F che soddisfi le condizioni ma la sua W F non è contenuto in Z . Inoltre, con questo metodo è possibile provare qualsiasi limite inferiore del circuito forte a causa della seconda disuguaglianza.
La parte reale di un circuito prova limite inferiore è di mostrare che per proposta , per ogni m -meets c'è una tale F . Nel caso di circuiti monotoni la condizione relativa a W F si semplifica in w i ≠ 0 → | | x i | | ∈ F quindi trovare F è più facile.
Alexander Razborov, Sul metodo di approssimazione, 1989. pdf
Mauricio Karchmer, On Proving Lower Bounds for Circuit Size, 1995.
Tim Gowers, metodo di approssimazione di Razborov, 2009. pdf
Dichiarazione di non responsabilità : questa è solo una panoramica di alto livello intesa a fornire alcune intuizioni ai metodi utilizzati nel recente documento di Blum.
Tenterò di usare una notazione più vicina a quella usata nel documento sopra citato.
Supponiamo di poter provare le seguenti affermazioni: