Problemi NP-intermedi con soluzioni quantistiche efficienti

Peter Shor ha mostrato che due dei più importanti problemi NP-intermedi, il factoring e il problema dei log discreti, sono in BQP. Al contrario, l'algoritmo quantistico più noto per SAT (ricerca di Grover) produce solo un miglioramento quadratico rispetto all'algoritmo classico, suggerendo che i problemi NP-completi sono ancora intrattabili su computer quantistici. Come sottolinea Arora e Barak, c'è anche un problema in BQP che non è noto essere in NP, portando alla congettura che le due classi sono incomparabili.

C'è qualche conoscenza / congettura sul perché questi problemi NP-intermedi sono nel BQP, ma perché SAT (per quanto ne sappiamo) non lo è? Altri problemi NP-intermedi seguono questa tendenza? In particolare, isomorfismo grafico in BQP? (questo non funziona bene su Google).

L'isomorfismo grafico non è noto per essere in BQP. È stato fatto molto lavoro nel tentativo di inserirlo. Un'osservazione molto interessante è che l'isomorfismo grafico potrebbe essere risolto se i computer quantistici potessero risolvere il problema del sottogruppo nascosto non abeliano per il gruppo simmetrico (il factoring e il log discreto sono risolti da usando il problema del sottogruppo nascosto abeliano, che a sua volta viene risolto applicando la trasformata quantistica di Fourier su gruppi abeliani).

Uno dei modi in cui le persone hanno cercato di risolvere l'isomorfismo grafico è stato applicando la trasformata quantistica di Fourier per i gruppi non abeliani. Esistono algoritmi per la trasformata quantistica di Fourier per molti gruppi non abeliani, incluso il gruppo simmetrico. Sfortunatamente, sembra che non sia possibile utilizzare la trasformata quantistica di Fourier per il gruppo simmetrico per risolvere l'isomorfismo grafico; ci sono stati alcuni articoli scritti su questo che dimostrano che non funziona, dati vari presupposti sulla struttura dell'algoritmo. Questi documenti sono probabilmente ciò che trovi quando vai su Google.

La risposta del folklore è che il factoring è "strutturato" in un modo in cui non lo sono i problemi generali di NP, ed è per questo che siamo riusciti a trovare un vantaggio quantico solo per problemi intermedi.

Probabilmente una versione più semplice della tua domanda non è guardare alla complessità computazionale, ma alla complessità della query delle funzioni booleane. Qui possiamo dire alcune cose in modo dimostrabile, come il fatto che le accelerazioni superpolinomiali sono possibili solo per funzioni parziali (dimostrato in http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802049 ) e non per funzioni simmetriche nei loro input e output (dimostrato in http://arxiv.org/abs/0911.0996 ).

Questi risultati non fanno luce direttamente sulla domanda BQP vs NP, ma penso che siano passi significativi verso la determinazione di dove vi sia un vantaggio quantico.