Isomorfismo grafico e sottogruppi nascosti

23

Sto cercando di capire la relazione tra isomorfismo grafico e il problema nascosto sottogruppo. C'è un buon riferimento per questo?

— Suresh Venkat
fonte

2

Tssk, non solo avremo bisogno di curare la tua malattia gastrointestinale, ma anche tutti i poveri lettori della tua domanda che si infettano! (Questo è per scherzo, sono anche un po 'incline alla malattia gastrointestinale.)

— András Salamon

1

troppo vero. Adesso devo stare lontano da Dave Bacon :)

— Suresh Venkat,

2

Cordiali saluti, il seguente articolo relativamente recente penso che abbia messo l'unghia nella bara sugli "algoritmi del setaccio quantistico" per IG, che copre molti dei tentativi finora (e non è menzionato nel post del blog di Dave Bacon): dx.doi.org/ 10.1137 / 080724101 . L'articolo è pesante sulla teoria della rappresentazione, ma l'introduzione non lo è, ed è una lettura abbastanza buona.

— Joshua Grochow,

20

I riferimenti possono essere trovati nella risposta di martinschwarz, ma ecco un riassunto di alcune riduzioni.

Il gruppo simmetrico agisce sui grafici di n vertici permutando i vertici. Determinare se due grafici sono isomorfi è tempo polinomiale equivalente al calcolo di un gruppo elettrogeno di dimensioni polinomiali per . $S_n$ $Aut(G)$

Riduzione all'HSP sul gruppo simmetrico (dove è il numero di variabili nel grafico). La funzione è in cui è una permutazione in , e è la versione permutato di . Quindi è costante sui coseti di e distinto su coseti distinti (si noti che l'immagine di $S_n$ $n$ $f$ $f(p)=p(G)$ $p$ $S_n$ $p(G)$ $G$ $f$ $Aut(G)$ $f$ è costituito da tutti i grafici isomorfi rispetto a ). Poiché il sottogruppo nascosto è esattamente , se potessimo risolvere questo HSP, avremmo il gruppo elettrogeno per , che è tutto ciò di cui abbiamo bisogno per risolvere il GI (vedi sopra). $G$ $Aut(G)$ $Aut(G)$

Riduzione al HSP su . Se vogliamo sapere se due grafici e su vertici sono isomorfi, considera il grafico che è l'unione disgiunta di e su vertici. Affitto agiscono sui vertici scambiando con per . O $S_n \wr \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $G$ $H$ $n$ $K$ $G$ $H$ $2n$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $i$ $n+i$ $i=1,...,n$ o . Come prima, lascia che $Aut(K) = Aut(G) \times Aut(H)$ $Aut(K) = (Aut(G) \times Aut(H)) semidirect \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ dove è ora un elemento di che agisce su come descritto. Il sottogruppo nascosto associato a è esattamente , come nella riduzione precedente. Se risolviamo questo HSP, otteniamo un gruppo elettrogeno per . È quindi facile verificare se il gruppo elettrogeno contiene elementi che scambiano la copia di con la copia di all'interno $f(x)=x(K)$ $x$ $S_n \wr \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $K$ $f$ $Aut(K)$ $Aut(K)$ $G$ $H$ (ha uncomponente non banale ). $K$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

— Joshua Grochow
fonte

17

Potresti voler leggere il recente post sul blog di Dave Bacon sull'Isomorfismo grafico con collegamenti alla letteratura.

— Martin Schwarz
fonte

14

"Algoritmi quantistici per problemi algebrici" di Andrew Childs e Wim van Dam arXiv: 0812.0380 è un ottimo documento di indagine che contiene una buona introduzione all'HSP non abeliano e alla sua relazione con l'isomorfismo grafico.

— dabacon
fonte