Per due grafici non isomorfi

Voglio essere molto specifico. Qualcuno sa di una disproof o una prova della seguente proposizione:

$\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N},$

$\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H),$

$\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}),$

$|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi.$

Intuitivamente, questo dovrebbe essere vero se tutti i grafici non isomorfi possano essere distinti usando le istruzioni " local", e immagino che questo sia falso. Naturalmente ogni grafico può essere distinto usando la profondità del quantificatore polinomiale, poiché puoi semplicemente specificare il tuo isomorfismo del modulo grafico: $Clog(n)^k$

$\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists x_3 ... \exists x_n (\forall x (\bigvee_{i \in V_G} x = x_i) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in E_G} E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \notin E_G} \neg E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in V_G^2 \mid i \neq j}x_i \neq x_j).$

Modifica: Quindi sembra che l'intuizione della località che ho avuto sia falsa. Una formula di quantificatore di profondità ha la località di Gaifman delimitata da , il che significa che una formula di profondità di registro è sostanzialmente globale. Per questo motivo, ho la sensazione che la proposta si rivelerà vera, il che sarebbe molto più difficile da dimostrare a mio avviso. $k$ $O(3^k)$

— Samuel Schlesinger
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Che dire del percorso e di due percorsi disconnessi ciascuno di lunghezza

\frac{n}{2}

$\frac{n}{2}$

— Samuel Schlesinger

Il percorso ha solo due nodi di grado , due percorsi ne hanno quattro. Vale a dire, possono essere distinti da una formula di dimensioni costanti. Potresti avere più fortuna con un cerchio rispetto a due cerchi, ma penso che possano essere distinti da una formula di rango quantificatore .

1

$1$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Emil Jeřábek 3.0

Gli alberi ad alto fusto potrebbero funzionare per una confutazione, se differiscono vicino alle foglie.

— András Salamon,

@ EmilJeřábek è vero senza uguaglianza?

— Samuel Schlesinger,

@StellaBiderman La verità delle formule senza uguaglianza è preservata dagli omomorfismi riflettenti (cioè preservando le relazioni in entrambi i modi). Nel caso dei grafici, ad esempio, due grafici senza spigoli soddisfano le stesse frasi. Più in generale, si può prendere qualsiasi grafico e far esplodere qualsiasi vertice in un set indipendente.

— Emil Jeřábek 3.0

Grazie al mio collega Maxim Zhukovskii per aver suggerito questa risposta.

Si scopre che la risposta è negativa e il controesempio è piuttosto semplice. Prendi e per e e per . (Qui è una -clique e è un insieme di vertici isolati). Considerando il gioco Ehrenfeucht si può dimostrare che nel primo caso la profondità minima possibile è e nel secondo caso è . $G=K_m\sqcup \overline{K_m}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_{m-1}}$ $n=2m$ $G=K_m\sqcup \overline{K_{m+1}}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_m}$ $n=2m+1$ $K_s$ $s$ $\overline{K_s}$ $s$ $m$ $m+1$

È stato mostrato nel documento "La definizione del primo ordine dei grafici: limiti superiori per la profondità del quantificatore" di Oleg Pikhurko, Helmut Veith e Oleg Verbitsky che questo limite è quasi stretto e due grafici -vertex distinti da una formula di profondità . $n$ $\frac{n+3}{2}$

— Daniil Musatov
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