Esiste una nozione di calcolabilità su set diversi dai numeri naturali?

Esiste una nozione di calcolabilità su set diversi dai numeri naturali? Per amor di discussione, diciamo sui set $S$ che biject con $\mathbb{N}$ .

È allettante dire "sì, sono quelle funzioni della forma $g \circ f \circ g^{-1}$ dove $g$ è qualsiasi biiezione $\mathbb{N} \to S$ e $f$ è qualsiasi funzione calcolabile $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ ". Sono cauto su questa definizione per due motivi.

1. Privilegi $\mathbb{N}$ rispetto ad altri insiemi numerabili. Perché è $\mathbb{N}$speciale quando si tratta di definire la calcolabilità? Vorrei una definizione "calcolabile senza coordinate" di calcolabilità senza riferimento a qualsiasi insieme privilegiato allo stesso modo in cui mi piacerebbe una definizione "coordinata libera" di un concetto di algebra lineare senza riferimento a una base privilegiata.

2. Solleva domande sulla scelta di $g$ . Ho il sospetto che possa essere possibile trovare contraddizioni da scelte particolarmente patologiche di $S$ e $g$ . Ad esempio, se scelgo $S = \mathbb{N}$ e $g$ qualche biiezione non calcolabile, è davvero il caso che $g \circ f \circ g^{-1}$ sia calcolabile per tutti i calcolabili $f$ ?

   Si sarebbe tentati di richiedere nella definizione che $g$ sia calcolabile ma purtroppo di petizione di principio.

Esiste un modo generale per descrivere la calcolabilità su insiemi numerabili diversi da $\mathbb{N}$ ?

Questa domanda non è a livello di ricerca, ma dal momento che sta ricevendo risposte, vorrei offrire una risposta che potrebbe effettivamente chiarire un po 'le cose e fornire riferimenti.

C'è un'intera area dell'informatica teorica che studia la calcolabilità in analisi, algebra e topologia. Di importanza centrale è la nozione di calcolabilità per numeri reali. In effetti il documento originale di Turing sulle macchine Turing inizia con la seguente frase:

I numeri "calcolabili" possono essere brevemente descritti come numeri reali le cui espressioni come decimali sono calcolabili con mezzi finiti.

A volte paga tornare alla fonte.

Esistono diversi modi per impostare la calcolabilità su insiemi generali, di cui uno dei più generali è la teoria della realizzabilità . L'idea della teoria della realizzabilità risale al documento di Kleene On the Interpretation of Intuitionistic Number Theory del 1945, ma da allora è stato generalizzato e sviluppato in un mini-ramo della computabilità, con un buon mix di teoria delle categorie, vedi ad esempio il libro di Jaap van Oosten "Realizzabilità: un'introduzione al suo lato categorico" (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 152, Elsevier, 2008).

$\lambda$$\mathbb{N}$$\lambda$

$X$$\Vdash_X$$\mathbb{N}$$X$$x \in X$$n \in \mathbb{N}$$n \Vdash_X x$$n$$x \in X$

Dati due assembly e , una mappa viene realizzata (o "calcolabile") se esiste una macchina di Turing , tale che, ogni volta che quindi termina e . Ancora una volta, questa è una traslitterazione diretta di ciò che significa informalmente "programmare" una funzione astratta : la corrispondente macchina di Turing fa per rappresentare i dati qualunque cosa faccia agli elementi corrispondenti.$(X, {\Vdash_X})$$(Y, {\Vdash_Y})$$f : X \to Y$$T$$n \Vdash_X x$$T(n)$$T(n) \Vdash_Y f(x)$$f$$f$

Le assemblee possono essere estese a un topos di realizzabilità . Un topos è un modello di matematica intuizionista di ordine superiore. Questo ci dice che ogni topos di realizzabilità (ce n'è uno per ogni modello di calcolo) contiene molti oggetti interessanti. Ad esempio, contiene un oggetto di numeri reali, che ci dà quindi la calcolabilità sui reali. Ma contiene anche molti altri oggetti, come spazi di Hilbert, spazi di Banach, spazi di mappe lisce, ecc. Hai chiesto qualche altra struttura calcolabile, ma hai ottenuto qualcosa di molto meglio: interi mondi matematici di calcolabilità.

Poiché la teoria e gli aspetti della categoria possono essere spaventosi e richiedere una certa competenza tecnica nella teoria della computabilità, nella teoria delle categorie e nella logica, potremmo anche lavorare in un solo topos concreto, ma esprimiamo tutto in modi concreti non astratti. Un mondo di computazione particolarmente buono nasce dalla realizzabilità della funzione di Kleene e va sotto il nome di analisi calcolabile .

Consentitemi di commentare il requisito "coordinate gratis":

• Il passaggio da un modello all'altro di calcolo fornisce diversi tipi di mondi calcolabili. È un po 'come passare da un campo all'altro dando diversi tipi di algebra lineare.

• Un set può essere dotato di molte strutture di calcolabilità , proprio come un set di vettori ha molte basi. Tuttavia, mentre tutte le basi sono equivalenti, non tutte le strutture di calcolabilità su sono calcolabili equivalenti.$X$$\Vdash_X$$X$

• Se lavoriamo concretamente con strutture di calcolabilità , è un po 'come lavorare con le matrici nell'algebra lineare. Può essere molto utile, ma non è astratto.$(X, {\Vdash_X})$

• Per lavorare in modo "senza coordinate", lavoriamo in modo da rendere possibile la topos e sfruttare il potere della teoria delle categorie (sì, è un cliché ma funziona).

• Possiamo persino lavorare in modo "libero dal mondo": sviluppare la matematica in una logica intuizionista e quindi interpretare i risultati in aspetti di realizzabilità.

I due articoli seguenti sviluppano una nozione di calcolabilità per insiemi arbitrari. È interessante notare che anche una nozione di teoria della complessità può essere definita per questo modello di calcolo.

Cobham Ricorsive Set Functions and Weak Set Teories Arnold Beckmann, Sam Buss, Sy-David Friedman, Moritz Müller, Neil Thapen.

Ricorsione legata al sottoinsieme e un modello di circuito per le funzioni del set ricorsivo Cobham Arnold Beckmann, Sam Buss, Sy-David Friedman, Moritz Müller, Neil Thapen.

Esiste un concetto di complessità e calcolo sui reali. Un libro di testo a cui ti indirizzerei è: https://www.amazon.com/Complexity-Real-Computation-Lenore-Blum/dp/0387982817

Conosco un laboratorio che lo studia nello specifico: https://complexity.kaist.ac.kr/

Questo è simile a come definiamo la calcolabilità in termini di macchine Turing e poi dimentichiamo prontamente le macchine Turing. Dal momento che risulta che una macchina di Turing è una definizione valida come qualsiasi altra, la usiamo come ancora per un'intera classe di modelli di equivalenza e finiamo con la stessa classe indipendentemente dall'elemento da cui la generiamo. Fondamentalmente questa è la tesi di Church-Turing e definisce l'insieme di stringhe di bit calcolabili.

$S$$S$$S$$S$

$S$$S$$\{0,1\}^*$$O(1)$$S$

Quindi penso che la risposta alla tua domanda sia NO. Dobbiamo definire la calcolabilità per ogni set di cui vogliamo parlare, perché esistono definizioni non equivalenti. A parte una discussione molto tecnica o pedagogica, non dovrebbe essere necessario, dal momento che una persona ragionevole può immaginare una definizione ragionevole in modo indipendente.

$S$$S$$S$$\{0,1\}^*$

$r \in \mathbb{N}$$r$$g \in \mathbb{N}$$g$$23$$23$$\mathbb{N}^2$$\mathbb{N}$$\mathbb{N}^2$$\mathbb{N}$

Quindi, al fine di evitare l'intera discussione, si dovrebbe comprendere non solo che esiste una definizione ragionevole di calcolabilità sull'insieme in questione, ma anche che esiste esattamente una classe di definizioni ragionevoli.

$F:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$\mathbb{N}$$F:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$