Per quanto riguarda i metodi Pfaffian nel conteggio e nella combinatoria


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Di recente, stavo esaminando un'introduzione agli algoritmi olografici. Mi sono imbattuto in alcuni oggetti combinatori chiamati Pfaffians. Non so molto su quelli al momento e mi sono imbattuto in alcuni usi sorprendenti a cui possono essere sottoposti.

Ad esempio, sono venuto a sapere che possono essere utilizzati per contare in modo efficiente il numero di corrispondenze perfette nei grafici planari. Inoltre, possono essere utilizzati per contare il numero di possibili piastrellature di una scacchiera utilizzando tessere 2 * 1. La connessione di piastrellatura mi è sembrata molto curiosa e ho provato a cercare materiali più pertinenti sul web, ma nella maggior parte dei casi ho semplicemente trovato solo una o due dichiarazioni sulla connessione e nient'altro.

Volevo solo chiedere se qualcuno potesse suggerire qualche riferimento alla letteratura pertinente in quanto sarebbe davvero fantastico e non vedo l'ora di studiare alcuni materiali correlati.


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Questo è noto come "problema del dimero". Una panoramica è nella sezione 7.14 dei "Modelli risolti esattamente" di Baxter e anche in math.brown.edu/~rkenyon/papers/de2.pdf Il numero di dimeri può essere espresso come funzione di partizione del modello Ising, un esempio elaborato della funzione di partizione Ising attraverso Pfaffian è riportato in cs.cmu.edu/~jch1/research/presentation/globersonjaakkola.ppt
Yaroslav Bulatov

grazie per il commento yaroslav. l'esempio del cmu sembra utile
Akash Kumar il

Potresti essere interessato alla breve storia dei pfaffian da combinatorics.org/Volume_3/PDF/v3i2r5.pdf
Radu GRIGore

Grazie per il commento Radu. Mi sono imbattuto in un altro sondaggio di Robin Thomas. Puoi trovarlo qui people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/pfafsurv.pdf
Akash Kumar,

Risposte:


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(Questa è una domanda interessante per me perché sto anche leggendo del Pfaffian.)

Suggerisco i seguenti riferimenti:


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Davvero, grazie mille Dai. Questi sono riferimenti davvero buoni. Li esaminerò molto presto. Grazie ancora. E sì, goditi questo Natale e passa un felice anno nuovo!
Akash Kumar,

@arnab e @Akash Sono contento che il mio suggerimento sia d'aiuto! Buon Natale e felice anno nuovo a voi due!
Dai Le

@Dai, questo sembra molto interessante. Quale di questi tre riferimenti menziona l'algoritmo di Berkowitz (versione Pfaffian)?
Michael Soltys,

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Potresti trovare questo documento sui circuiti di Pfaffian e i riferimenti in esso interessanti; Volevo dire che si trattava di un'introduzione autonoma agli algoritmi olografici e di esplorare ciò che si può fare con Pfaffians.


È fantastico! Grazie e buon anno!
Dai Le

Whoo ... fantastico! Totalmente in sintonia con ciò che volevo. Mille grazie (e sì un felice anno nuovo)
Akash Kumar

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Questo avrebbe dovuto essere davvero un commento, ma per mancanza di spazio sto pubblicando questo come risposta.

Grazie per le risposte e commenti a tutti. Di recente, mi sono imbattuto in un altro sondaggio di Robin Thomas. Puoi trovarlo qui http://people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/pfafsurv.pdf .

Oltre a questo, aggiungerei anche un'affermazione sulla connessione di piastrellatura (che mi è stata indicata dalla prof. Dana Randall). Se prendi il doppio reticolo, le tessere domino 2x1 sono solo bordi. Pertanto, una piastrellatura perfetta è esattamente un abbinamento perfetto nel doppio. Quindi, la teoria dei Pfaffiani può essere usata per contare gli abbinamenti perfetti nei grafici planari.

Ciò significa che puoi semplicemente concentrarti sul conteggio delle corrispondenze perfette nel grafico - il resto segue semplicemente banalmente.


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C'è anche il lavoro di Charles Little, Fischer, McCuaig, Robertson, Seymour e Thomas, Loebl, Galluccio, Tesler, Miranda, Lucchesi, de Carvalho e Murty (quelli che mi vengono in mente in questo momento.)

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