Per quanto riguarda i metodi Pfaffian nel conteggio e nella combinatoria

Di recente, stavo esaminando un'introduzione agli algoritmi olografici. Mi sono imbattuto in alcuni oggetti combinatori chiamati Pfaffians. Non so molto su quelli al momento e mi sono imbattuto in alcuni usi sorprendenti a cui possono essere sottoposti.

Ad esempio, sono venuto a sapere che possono essere utilizzati per contare in modo efficiente il numero di corrispondenze perfette nei grafici planari. Inoltre, possono essere utilizzati per contare il numero di possibili piastrellature di una scacchiera utilizzando tessere 2 * 1. La connessione di piastrellatura mi è sembrata molto curiosa e ho provato a cercare materiali più pertinenti sul web, ma nella maggior parte dei casi ho semplicemente trovato solo una o due dichiarazioni sulla connessione e nient'altro.

Volevo solo chiedere se qualcuno potesse suggerire qualche riferimento alla letteratura pertinente in quanto sarebbe davvero fantastico e non vedo l'ora di studiare alcuni materiali correlati.

(Questa è una domanda interessante per me perché sto anche leggendo del Pfaffian.)

Suggerisco i seguenti riferimenti:

• Capitolo 8 del fantastico libro Matching Theory di Lovasz e Plummer.
• The paper Division-Free Algorithms for the Determinant and the Pfa ffi an: Algebraic and Combinatorial Approaches by Rote. Questo documento mette in relazione il Pfaffian con l'oggetto combinatorio chiamato sequenza di camminata chiusa alternata (aka sequenza di clow alternata), che ci fornisce un algoritmo dinamico (senza divisione) per il calcolo del Pfaffian.
• Il documento Percorsi senza intersezione, pfa ffi ans e partizioni piane di Stembridge, che mostra come utilizzare il Pfaffian per enumerare le configurazioni in combinatoria. L'articolo fornisce anche prove combinatorie delle identità di base, ad es.

  $A$$\mathsf{pf}(A)^2 = \mathsf{det}(A)$

Potresti trovare questo documento sui circuiti di Pfaffian e i riferimenti in esso interessanti; Volevo dire che si trattava di un'introduzione autonoma agli algoritmi olografici e di esplorare ciò che si può fare con Pfaffians.

Questo avrebbe dovuto essere davvero un commento, ma per mancanza di spazio sto pubblicando questo come risposta.

Grazie per le risposte e commenti a tutti. Di recente, mi sono imbattuto in un altro sondaggio di Robin Thomas. Puoi trovarlo qui http://people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/pfafsurv.pdf .

Oltre a questo, aggiungerei anche un'affermazione sulla connessione di piastrellatura (che mi è stata indicata dalla prof. Dana Randall). Se prendi il doppio reticolo, le tessere domino 2x1 sono solo bordi. Pertanto, una piastrellatura perfetta è esattamente un abbinamento perfetto nel doppio. Quindi, la teoria dei Pfaffiani può essere usata per contare gli abbinamenti perfetti nei grafici planari.

Ciò significa che puoi semplicemente concentrarti sul conteggio delle corrispondenze perfette nel grafico - il resto segue semplicemente banalmente.

C'è anche il lavoro di Charles Little, Fischer, McCuaig, Robertson, Seymour e Thomas, Loebl, Galluccio, Tesler, Miranda, Lucchesi, de Carvalho e Murty (quelli che mi vengono in mente in questo momento.)