Complessità del problema delle parole con meno lettere distinte accettate da un automa finito

Dato un finito (deterministico o non deterministico, non credo che questo abbia molta importanza) automa A e una soglia n , A accetta una parola contenente al massimo n lettere distinte?

(Per k lettere diverse intendo che aabaa ha due lettere distinte, a e b .)

Ho mostrato che questo problema era NP-completo, ma la mia riduzione produce automi in cui la stessa lettera appare su molte transizioni.

Sono piuttosto interessato ai casi in cui ogni lettera appare al massimo k volte in A, dove k è un parametro fisso. Il problema è ancora NP-completo?

Per k = 1 il problema è solo il percorso più breve, così è P. Per k = 2 Non sono stato in grado di mostrare l'appartenenza a P né di trovare una prova della durezza NP.

Qualche idea, almeno per k = 2?

È NP-difficile per . La riduzione è da 3-SAT- (2,2), il che significa che ogni clausola contiene 3 letterali e ogni letterale si verifica al massimo in 2 clausole.$k=3$$3$$2$

Prima di tutto, per semplicità, ammettiamo onestamente che questo problema non ha molto a che fare con gli automi. Il tuo problema è equivalente alla seguente: Dato un digraph bordo color in cui ogni colore si verifica al massimo volte, c'è un s t percorso che utilizza al massimo n colori?$k$$st$$n$

Per la riduzione, il grafico inizia da con un percorso di lunghezza n , dove n è il numero di variabili dell'ingresso 3-SAT- (2,2). Ogni bordo di questo percorso è presente due volte e tutti i 2 n bordi hanno un colore diverso. I colori utilizzati durante l'attraversamento di questo percorso corrispondono a quali variabili sono vere. Dopo questo percorso, c'è un altro percorso la cui lunghezza è il numero di clausole. Qui ogni bordo è tre volte, dove i colori corrispondono ai letterali della clausola. Possiamo arrivare alla fine di questo percorso senza usare colori extra (quindi in totale n ) se e solo se l'ingresso 3-SAT- (2,2) è soddisfacente.$s$$n$$n$$2n$$n$