Qual è la seguente variazione di Set Cover nota come?

Qual è la seguente variazione sulla copertina del set nota come?

Dato un insieme S, un insieme C di sottoinsiemi di S e un intero positivo K, esistono degli insiemi K in C tali che ogni coppia di elementi di S si trova in uno dei sottoinsiemi selezionati.

Nota: non è difficile vedere che questo problema è NP-completo: dato un normale problema di copertura del set (S, C, K), fare tre copie di S, dire S ', S' 'e S' '', quindi crea i tuoi sottoinsiemi come S '' ', | S | sottoinsiemi del modulo {a '} U {x in S' '| x! = a} U {a '' '}, | S | sottoinsiemi del modulo {a ''} U {x in S '| x! = a} U {a '' '}, {a', a '' | a in C_i}. Quindi possiamo risolvere il problema di cover set con K sottoinsiemi se possiamo risolvere il problema di cover coppia con K + 1 + 2 | S | sottoinsiemi.

Questo generalizza a triple, ecc. Vorrei poter non sprecare mezza pagina a dimostrazione di ciò, e probabilmente non è abbastanza ovvio da considerarlo banale. È certamente sufficientemente utile che qualcuno l'abbia dimostrato, ma non ho idea di chi o dove.

Inoltre, c'è un buon posto in cui cercare risultati NP-Completezza che non si trovano a Garey e Johnson?

Per rispondere alla tua seconda domanda, il compendio Kahn-Crescenzi dei risultati sulla durezza NP è una fonte preziosa per i risultati sulla durezza e copre anche molte varianti dei problemi G&J fondamentali. La voce per la copertina del set ne è un buon esempio.

Sembra che stai generalizzando la copertura del set per considerare non solo gli elementi di S, ma ogni sottoinsieme di dimensioni M di S. Possiamo affermare il problema più in generale:

"Dato un insieme S, una raccolta C di sottoinsiemi di S e un intero positivo m, qual è il numero più piccolo di elementi di C in modo tale che ogni sottoinsieme M di S si trovi in ​​uno degli elementi selezionati di C?"

Questo in realtà mi sembra una generalizzazione abbastanza ovvia della copertura del set, e non una che avresti bisogno di dedicare del tempo a provare NP-complete oltre una sola riga. Dopotutto, la scelta di m = 1 ripristina il problema di copertina del set originale. Forse questa formulazione più generale è abbastanza buona per i tuoi scopi da evitare la necessità di entrare nei dettagli?

La tua domanda su una serie aggiornata di risultati di completezza NP è buona e merita una sua domanda. Crescenzi e Kann hanno messo insieme un utile compendio online qui .

In secondo luogo, non è pervasivo, ma l'Algorithms Design Manual di Steven Skiena è spesso una prima tappa utile per un gran numero di problemi ed è disponibile online in parte .