Qual è la complessità di questo problema grafico?

Dato un semplice grafico non orientato $G$ , trova un sottoinsieme $A\neq \emptyset$ di vertici, tale che

per ogni vertice almeno la metà dei vicini di sono anche in , e $x\in A$ $x$ $A$
la dimensione di è minima. $A$

Cioè, stiamo cercando un cluster, in cui almeno la metà del vicinato di ogni vertice interno rimanga interna. La semplice esistenza di un tale cluster è ovvia, poiché l'intero insieme di vertici ha sempre la proprietà 1. Ma quanto è difficile trovare il cluster più piccolo (non vuoto)? $V(G)$

Esiste un nome standard per questo problema? Cosa si sa della sua complessità?

graph-theory graph-algorithms np-hardness

— Andras Farago
fonte

Sembra una variante del problema della partizione soddisfacente . Non so se la tua variante è nota ed è stato dimostrato di essere NPC; ma probabilmente una riduzione da k-cricca dovrebbe funzionare: collegamento ogni nodo

del grafo originale

nodi di

"cricca esterna" di dimensione

(ogni nodo ha la sua cricca esterna). Quindi puoi trovare un set non banale

di dimensione

se e solo se a

v_{i}

$v_i$

k + 1

$k+1$

C_{i}

$C_i$

2 (k + 1)

$2(k+1)$

A

$A$

k

$k$

k

$k$ -clique esiste nel grafico originale (devi selezionare almeno un nodo, ma devi evitare qualsiasi cricca esterna). Ma è solo un'idea; se avrò abbastanza tempo proverò a vedere se la riduzione è corretta.

— Marzio De Biasi,

@MarzioDeBiasi Grazie, dopo alcune ricerche ho scoperto che il problema della partizione soddisfacente è effettivamente correlato. Tuttavia, in ogni variante che ho trovato, cercano una partizione, piuttosto che un singolo set. Non è chiaro come siano correlati. Nella tua riduzione, a meno che non abbia frainteso qualcosa, un

-clique del grafico originale non soddisfa la definizione, poiché ogni nodo in esso avrà

vicini interni, ma almeno

vicini esterni, a causa dell'aggiunta esterna cricche.

k

$k$

k - 1

$k-1$

k + 1

$k+1$

— Andras Farago,

Penso che questo problema sia noto come "alleanza difensiva"

— daniello,

@daniello: fantastico, ho cercato nel sondaggio IG Yero, JA Rodriguez-Velazquez, "Alleanze difensive nei grafici: un sondaggio", 2013 ma non ho trovato la parola "metà"; quando avrò abbastanza tempo lo leggerò attentamente; è probabile che il problema OP sia già noto!

— Marzio De Biasi,

Sembra essere formulato come "ogni vertice ha almeno tanti vicini dentro e fuori", che è lo stesso della domanda fino all'arrotondamento, ed eventualmente includendo / non includendo il vertice stesso nel conteggio

— daniello,

Questa è una riduzione da Clique al tuo problema.

Iniziamo con un'istanza di Clique: un grafo e un intero , lasciate . $G$ $k$ $V = \{ v_1, v_2,...,v_n\}$

La cricca rimane NPC anche sotto il vincolo che (schizzo di prova: se quindi aggiungi una dove $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $max(deg(v_i) > 2(k-1)$ $K_t$ e collegalo a tutti i nodi di e chiedi una cricca di dimensioni nel nuovo grafico). $t = 2(k-1) - max(deg(v_i))$ $G$ $k' = k + t$

Quindi supponiamo che in , . Per ogni nodo per cui creiamo una cricca "esterna" di dimensione (ogni nodo di $G$ $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $v_i$ $deg(v_i) < 2(k-1)$ $C_i$ $2(k+1)+1$ cricca ha almeno vicini). $C_i$ $2(k+1)$

Se è il grado di , colleghiamo a nodi di . $deg(v_i)$ $v_i$ $v_i$ $2(k-1) - deg(v_i)$ $C_i$

Nel risultante , ogni ha grado ; così perché è necessario selezionare almeno un vertice. $G'$ $v_i$ $2(k-1)$ $|A| \geq k$

È chiaro che se uno dei vertici di è incluso in devono essere inseriti anche almeno nodi. Si noti che se un nodo originale ha necessario includere almeno un nodo della collegata , portando a $C_i$ $A$ $2(k+1)/2 = k+1$ $deg(v_i) < k-1$ $C_i$ $|A| > k$ .

Quindi possiamo costruire un set di dimensioni minime se e solo se contiene una cricca di dimensione $A$ $|A| = k$ $G$ $k$ .

Un esempio della riduzione in cui chiediamo se il grafico rappresentato dai nodi gialli e dai bordi in grassetto contenga una cricca di dimensioni (un triangolo). $G$ $k = 3$

I nodi blu (raggruppati per una migliore leggibilità) sono , i bordi rossi sono i collegamenti tra i nodi di con . $K_9$ $G$ $deg(v_i) < 2(k-1)$

— Marzio De Biasi
fonte

@WillardZhan: perché ogni vertice di

ha grado

per costruzione, quindi se

contiene un vertice, deve contenere almeno

vicini (e lo stesso si applica a tutti i vertici di

), quindi

. La "dimensione minima"

può essere raggiunta solo se

è una cricca di dimensione

G^{'}

$G'$

\geq 2 (k - 1)

$\geq 2(k-1)$

A

$A$

2 (k - 1) / 2 = k - 1

$2(k-1)/2 = k-1$

A

$A$

| A | \geq k

$|A| \geq k$

k

$k$

A

$A$

k

$k$

— Marzio De Biasi

@WillardZhan: ho aggiunto un'altra condizione al problema iniziale della cricca (ma dovrebbe rimanere NPC) ... Lo sto ancora verificando (non del tutto convinto che sia corretto).

— Marzio De Biasi,

Sì, ora funziona perfettamente (anche se dovrebbe essere

nell'espressione di

). Forse dovrò cancellare i miei commenti?

k^{'}

$k'$

t

$t$

— Willard Zhan,

@WillardZhan: penso che sia corretto, perché in quel paragrafo mi riferisco alla riduzione da Clique [istanza

] a Clique + vincolo

[istanza

è il numero dei nodi (cricca) da aggiungere a G per ottenere la nuova istanza di Clique che stastisfica il vincolo.

(G, k)

$(G,k)$

m a x (d e g (v_{i})) \leq 2 (k - 1)

$max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$

(G^{'}, k^{'})

$(G',k')$

t

$t$

— Marzio De Biasi