Complessità parametrizzata dell'inclusione delle lingue regolari

Sono interessato al classico problema INCLUSIONE LINGUA REGOLARE. Data un'espressione regolare , indichiamo con il linguaggio regolare ad esso associato. (Le espressioni regolari sono su un alfabeto fisso , con l'unione delle operazioni, stella di Kleene e concatenazione.) $E$ $L(E)$ $\Sigma$

Input: due espressioni regolari ed Domanda: È vero che ? $E_1$ $E_2$
$L(E_1)\subseteq L(E_2)$

L'INCLUSIONE DI LINGUA REGOLARE è nota per essere completa con PSPACE [1].

Il modo classico per risolverlo (in PSPACE) è costruire gli NFA e associati a ed , costruire un DFA da , completarlo in un DFA e, infine, costruire l'automa di intersezione da e corrispondente all'intersezione di e $A_1$ $A_2$ $E_1$ $E_2$ $D_2$ $A_2$ $D_2^C$ $A_P$ $A_1$ $D_2^C$ $L(E_1)$ $L(E_2)^C$ . Ora se e solo se non c'è un percorso accettare in . $L(E_1)\subseteq L(E_2)$ $A_P$

Se non sbaglio, l'intero processo può essere eseguito in tempi polinomiali quando è un linguaggio fisso, poiché l'unico esponenziale esplode deriva dalla trasformazione di in . Ancora meglio, il problema è FPT quando parametrizzato da , la lunghezza di . $E_2$ $A_2$ $D_2$ $|E_2|$ $E_2$

Questo motiva la mia domanda:

Domanda: Quando è un'espressione fissa, qual è la complessità di INCLUSION LINGUA REGOLARE? Rimane completo per PSPACE? $E_1$

[1] LJ Stockmeyer e AR Meyer. Problemi di Word che richiedono tempo esponenziale: relazione preliminare. Atti del quinto simposio annuale ACM sulla teoria dell'informatica, STOC '73, pagg. 1-9.

Nota: Essendo un non esperto nel campo, trovo [1] (e documenti correlati di quel tempo) abbastanza illeggibili e non sono riuscito a trovare un'altra prova della completezza di PSPACE - nessun suggerimento per una prova moderna, come in un libro, è molto gradito! Inoltre, gli autori sembrano consentire la quadratura nelle loro espressioni regolari, che oggi è piuttosto non standard, credo.)

— Florent Foucaud
fonte

Rimane completo per PSPACE, poiché l'universalità del linguaggio (cioè E1 = Sigma *) è completa per PSPACE.

— Denis,

Tuttavia, consentendo la quadratura rende EXPSPACE il problema completo, i risultati che hai citato sono senza quadratura.

— Denis,

Per

, è risolvibile in tempo costante. Per

per una stringa fissa

, è risolvibile in tempo polinomiale. Per

è PSPACE completo. Esiste un

tale che il problema è

-completo?

E_{1} = \emptyset

$E_1 = \emptyset$

E_{1} = w

$E_1 = w$

w

$w$

E_{1} = Σ^{*}

$E_1 = \Sigma^{*}$

E_{1}

$E_1$

N P

$NP$

— Michael Wehar,

Ok grazie! @Denis, per favore trasformalo in una risposta (con un riferimento), e lo accetterò!

— Florent Foucaud,

@MichaelWehar: qui vengono dimostrati alcuni casi completi di coNP ( doi.org/10.1137/080743457 ) ma non sono per lingue fisse (ma per classi di lingue molto ristrette )

— Florent Foucaud,

$E_1$ $E_1=\Sigma^*$

È davvero difficile trovare una prova di durezza PSPACE moderna e leggibile per l'universalità delle espressioni regolari, poiché è ora considerata folklore. Ecco uno schema di prova rapida che ti consente di ricostruire la prova:

$M$ $\Sigma$ $p(n)$ $w\in\Sigma^*$ $M$ $e$ $M$ $w$

$L_M$ $\$C_0\$ C_1\$\dots\$ C_f\$$ $C_i$ $M$ $p(n)$ $C_0$ $w$ $C_f$ $C_i\to C_{i+1}$ $M$ $L_M$ $M$

$e$ $\Sigma'=\Sigma\cup\{\$\}$ $e$ $L_M$ $L_M$ $e$ $e_1+e_2+\dots+e_k$ $e_i$

e_{1} = (Σ^{'})^{*} $ (Σ^{< p (n)} + Σ^{> p (n)}) $ (Σ^{'})^{*}

$e_1=(\Sigma')^*\$(\Sigma^{<p(n)}+\Sigma^{>p(n)})\$(\Sigma')^*$

C_{i}

$C_i$

p (n)

$p(n)$

C_{i}

$C_i$

C_{i + 1}

$C_{i+1}$

C_{i}

$C_i$

C_{i + 1}

$C_{i+1}$

t (Σ^{'})^{p (n)} t^{'}

$t(\Sigma')^{p(n)}t'$

t

$t$

t^{'}

$t'$

M

$M$

L (e) \neq (Σ^{'})^{*} if and only if L_{M} \neq \emptyset if and only if M accepts w

$L(e)\neq (\Sigma')^*\text{ if and only if }L_M\neq\emptyset\text{ if and only if $M$ accepts }w$ pertanto abbiamo ridotto (polinomialmente) un problema PSPACE arbitrario all'universalità di un'espressione regolare. Ho lasciato alcuni dettagli, ma questo dovrebbe permetterti di costruire una prova completa.

$E_1$

$(\Sigma')^{p(n)}$ $p(n)$ $p(n)$

[1] Sull'equivalenza, sul contenimento e sulla copertura dei problemi per le lingue regolari e senza contesto Harry B.Hunt, Daniel J.Rosenkrantz, Thomas G.Szymanski. Journal of Computer and System Sciences. Volume 12, Numero 2, Aprile 1976, Pagine 222-268

[2] Il problema dell'equivalenza per le espressioni regolari con quadratura richiede spazio esponenziale . Meyer, AR e L. Stockmeyer. 13 ° Simposio IEEE su commutazione e teoria degli automi, ottobre 1972, pagg. 125-129.

— Denis
fonte

Wow, grazie mille per aver condiviso i riferimenti !! Questo è pulito !! :)

— Michael Wehar,

Un mio collega mi ha segnalato il seguente sondaggio che tratta questo tipo di problemi linguistici e di automi regolari e contiene ulteriori riferimenti utili: sciencedirect.com/science/article/pii/S0890540110001999

— Florent Foucaud,