Informazioni comuni sull'ipotetica complessità dei problemi dei grafici

Mi sono imbattuto in due esempi di ipotetica durezza di alcuni problemi grafici. Durezza ipotetica significa che la confutazione di alcune congetture implicherebbe la completezza NP del rispettivo problema grafico. Ad esempio, la congettura di Barnette afferma che ogni grafico bipartito planare cubico a 3 connessioni è hamiltoniano. Feder e Subi hanno dimostrato che confutare la congettura implicherebbe la completezza NP del problema del ciclo hamiltoniano su grafici nella classe della congettura.

Congettura a 5 flussi di Tutte afferma che ogni grafico senza ponte ha un flusso a 5 a zero. Kochol ha mostrato che se la congettura è falsa, allora il problema di determinare se un grafico cubico ammette un flusso di 5 in nessun punto zero è NP-completo .

Ci sono intuizioni comuni nelle congetture sopra che spiegano l'ipotetica completezza NP dei corrispondenti problemi del grafico? Ci sono altri esempi di ipotetica complessità in questo senso?

PS Questo è stato pubblicato su MathoverFlow senza ottenere una risposta.

Ecco due riferimenti per la seconda parte della domanda.

L'articolo [1] affronta alcuni tipi di colorabilità dei grafici sparsi con una circonferenza data . Per ogni g fisso , mostrano che il problema decisionale associato è banale (ogni grafico nella classe ha una colorazione) o NP-completo. Ma la determinazione che è il valore di soglia di g resta un difficile problema aperto! Modifica: uno dei problemi considerati è legato alla congettura di Jaeger, secondo cui ogni grafico planare della circonferenza 4 k ammette un omomorfismo a C 2 k + 1$g$$g$$g$
$4k$$C_{2k+1}$. È mostrato in [1] che qualsiasi controesempio fornisce direttamente una prova di durezza. (Esiste una congettura simile di Klostermeyer e Zhang per la dispari-circonferenza.) Per gli altri problemi considerati in [1], non ci sono congetture ufficiali, ma per qualsiasi ipotesi sul valore di soglia corretto che si può fare, se dimostrato falso da un controesempio, quest'ultimo implica direttamente una corrispondente prova di durezza.$g$

Nell'introduzione del documento sopra citato viene anche citato il seguente interessante risultato su SAT [2]. È stato dimostrato che per ogni esiste una funzione f ( k ) tale che ( k , f ( k ) ) -SAT (cioè k -SAT dove ogni variabile si presenta f ( k ) volte) è banale, ma ( k , f ( k ) + 1 ) -SAT è NP-completo. (Il valore preciso di f ( k $k$$f(k)$$(k,f(k))$$k$$f(k)$$(k,f(k)+1)$$f(k)$ sembra sconosciuto, anche se viene fornita una stima.)

[1] L. Esperet, M. Montassier, P. Ochem e A. Pinlou. Una dicotomia di complessità per la colorazione di grafici sparsi. Journal of Graph Theory 73: 85-102, 2012. link + PDF sul sito Web di un autore

[2] J. Kratochvil, P. Savicky e Zs. Tuza. Un'ulteriore occorrenza di variabili fa passare la soddisfacibilità da banale a NP-completa. SIAM Journal on Computing 22: 203-210, 1993. link

Ci sono intuizioni comuni nelle congetture sopra che spiegano l'ipotetica completezza NP dei corrispondenti problemi del grafico?

Secondo me c'è una chiara intuizione comune nella direzione opposta: se le congetture sono vere allora i problemi corrispondenti non sono NP-completi e risultano essere banali in entrambi i casi (passano da NPC a $O(1)$ ).

E l'intuizione comune è che i problemi naturali, il ciclo hamiltoniano e nessun flusso zero nei grafici generali, sono "strutturati e potenti" abbastanza da "simulare" efficacemente la traccia di una macchina di Turing (alla Cook-Levin). Quindi inizi ad aggiungere sempre più vincoli fino a quando non ottieni alcun "potere computazionale".

Per me è come aggiungere sempre più vincoli al grafico di transizione di una macchina Turing (o sul dispositivo a nastro di lettura / scrittura) finché non si ottiene qualcosa di banale come "il grafico di transizione non contiene un ciclo".

Ci sono altri esempi di ipotetica complessità in questo senso?

Come (probabilmente) "caso risolto" posso apportare la mia esperienza relativa al problema del lancio di un dado su una scheda etichettata .

Alcuni anni fa non era noto se le schede completamente etichettate potessero contenere due distinti cicli di Hamiltonain ( congetture unicamente arrotolabili erano regolate per tutte le schede con lunghezze laterali al massimo 8). Domotor P. (l'utente domotorp qui) e io (indipendentemente) abbiamo dimostrato che tali schede esistono e la congettura è falsa (... nota che Joseph O'Rourke non ha ancora aggiornato la sua pagina :-).

Quindi, usando questo fatto, sono stato in grado di dimostrare che il lancio di un dado su una scheda completamente etichettata con fori è NP-completo (la custodia senza fori è ancora aperta); sebbene questo sia un risultato inedito.