Probabilità che funzioni una rete di ordinamento casuale

Dati input , costruiamo una rete di ordinamento casuale con porte selezionando in modo iterativo due variabili con e aggiungendo un gate di confronto che le scambia se . $n$ $x_0, \ldots, x_{n-1}$ $m$ $x_i, x_j$ $i < j$ $x_i > x_j$

Domanda 1 : Per fisso , quanto grande must essere per la rete correttamente sorta con probabilità $n$ $m$ ? $> \frac{1}{2}$

Abbiamo almeno il limite inferiore poiché un input che è correttamente ordinato tranne per il fatto che ogni coppia consecutiva viene scambiata impiegherà per ogni coppia da scegliere come comparatore . È anche questo il limite superiore, forse con più fattori? $m = \Omega(n^2 \log n)$ $\Theta(n^2 \log n^2)$ $\log n$

Domanda 2 : Esiste una distribuzione delle porte del comparatore che raggiunge , forse scegliendo comparatori vicini con probabilità più alta? $m = \tilde{O}(n)$

sorting-network

— Geoffrey Irving
fonte

Credo che si può ottenere una

limite superiore, cercando in un ingresso alla volta e di delimitazione poi l'unione, ma che suoni lontano da stretti.

O (n^{3} l o g^{O (1)})

$O(n^3log^{O(1)})$

— daniello,

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$ comparatori in totale in media. Tuttavia, non sono sicuro che la monoticità sia valida.

— DW,

\begin{array}{rcl} s & = & (x_{1}, x_{2}), (x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}); \\ s^{'} & = & (x_{1}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}), (x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} s &=&(x_1, x_2), (x_0, x_2), (x_0, x_1);\\ s'&=&(x_1, x_2), \mathbf{(x_0, x_1)}, (x_0, x_2), (x_0, x_1).\end{eqnarray*}$

s

$s$

s^{'}

$s'$

(x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1})

$(x_0, x_2), (x_0, x_1)$

(0, 1, 0)

$(0, 1, 0)$

s

$s$

(x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1})

$(x_0, x_2), (x_0, x_1)$

s^{'}

$s'$

x_{i}, x_{i + 1}

$x_i, x_{i+1}$

n

$n$

i

$i$

i

$i$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$

— Neal Young

a, b \in {0, 1}^{n}

$a, b\in\{0,1\}^n$

j \in {0, 1, \dots, n}

$j\in\{0,1,\ldots,n\}$

s_{j} (a) = \sum_{i = 1}^{j} a_{i}

$s_j(a) = \sum_{i=1}^j a_i$

a ⪯ b

$a\preceq b$

s_{j} (a) \leq s_{j} (b)

$s_j(a) \le s_j(b)$

\forall j

$\forall j$

x_{i} < x_{i + 1}

$x_i < x_{i+1}$

a^{'}

$a'$

b^{'}

$b'$

a

$a$

b

$b$ $a' \preceq a$ $b' \preceq b$ $a\preceq b$ $a' \preceq b'$

y

$y$

s

$s$

x

$x$

y^{'}

$y'$

s^{'}

$s'$

s

$s$

x

$x$

y^{'} ⪯ y

$y' \preceq y$

y

$y$

y^{'}

$y'$

$n$ $j - i = 2^k$ $\lg n - k$ $i$ $(i,j)$ $n$

$n < 200$ $100$ $6400$ $\Theta(n \log^2 n)$ $\log n$

$6400$ $2^n$ $n = 199$ $6400$ $64000$ $640000$ $14270 \pm 1069$ $14353 \pm 1013$ $14539 \pm 965$

$n = 80$ $d = j-i$ $d \in [1,\frac{n}{2}]$ $\frac{\log n - \log d}{d}$ $\Theta(n \log^2 n)$

— Geoffrey Irving
fonte

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

n = 20

$n=20$

n = 30

$n=30$

— Joshua Grochow,

n = 27

$n = 27$

n = 80

$n = 80$

\log n

$\log n$

\log n

$\log n$

\log n

$\log n$

\lg n \approx 6

$\lg n \approx 6$

1

$1$