Gerarchia alternata nello spazio

È noto grazie a Immerman e Szelepcsényi che se (anche per funzioni non spaziali costruibili). ${\rm NSPACE}(f)={\rm coNSPACE}(f)$ $f=\Omega(\log)$

Nello stesso documento, Immerman afferma che la gerarchia alternata dello spazio dei registri collassa, ciò significa che (la definizione della turing machine alternata limitata e di ciò che è una gerarchia può essere trovata su Wikipedia $\Sigma_j{\rm SPACE}(\log)={\rm NSPACE}(\log)$ ).

Esiste un documento sulla gerarchia dello spazio alternato per ? Ho chiesto la scorsa settimana a Immerman che non ricordava di aver letto nulla del genere. In inglese vorrei sapere se esiste una prova scritta che l'uso di qualsiasi lingua può essere deciso da una macchina di Turing con $f=\Omega(\log)$ $j$ alternanze può essere deciso anche da una macchina di turing non deterministica con lo stesso spazio limitato.

La mia domanda riguarda davvero la ricerca di un riferimento, perché penso di aver capito la prova; ma suppongo che potrebbe già essere noto.

Forse dovrei dichiarare quali sono i due problemi principali. Prima se , diciamo , allora è impossibile comporre in TM per ottenere una TM, che potremmo fare con TM. In secondo luogo, esiste un argomento per il caso $f=O(n)$ $f=\log^2$ $SPACE(f)$ $SPACE(f)$ $\rm{LOGSPACE}$ $f=O(n)$ e uno per ma c'è ancora qualche problema per la funzione che non sono né né . $f=\Omega(n)$ $O(n)$ $\Omega(n)$

— Arthur MILCHIOR
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Sarebbe utile se potessi includere una breve definizione delle due gerarchie che menzioni.

— Robin Kothari,

manca una "s" nelle gerarchie

— Suresh Venkat,

Ho aggiunto un collegamento per l'alternanza e le gerarchie limitate dallo spazio e una rapida definizione in inglese di ciò che mi piacerebbe. Per l'oracolo hiearchie temo che una definizione corretta possa essere troppo lunga e comunque inutile poiché questa classe è uguale allo spazio di log non deterministico.

— Arthur MILCHIOR,

il singolare delle gerarchie è la gerarchia, tra l'altro. puoi modificarlo?

— Suresh Venkat,

Modificato. Temo di non aver mai prestato attenzione a questo.

— Arthur MILCHIOR,

Risposte:

Sia - la classe di problemi che sono risolvibili con alternanze nello spazio . Durante il periodo di massimo splendore della teoria della complessità parallela, questa classe si presentava abbastanza spesso. $ALTS$ $SPACE(a(n),s(n))$ $a(n)$ $s(n)$

$AC^1$ $ALT$ $SPACE(\log n, \log n)$ . Quindi immagino ci siano molti articoli sul tuo argomento, anche se potrebbero non essere scritti nella notazione che stai usando.

$ALTS$ $SPACE(a(n),\log n) \subseteq NSPACE(a(n) \log n)$ directly from Immerman-Szelepcsényi.

— Ryan Williams
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Thank you; this seems really promising. I just have no clue where to began to look for such an article. The proof did not seems a trivial corollary to me because, let M be a TM in ASPACE(f,2), let M1 be the part existantial and M2 the universal part. We can not consider anymore M2 to be a coSPACE(f)=SPACVE(f) TM because we should take the input of M1 in the input tape. But yes, there is certainly something to do using directly their proof. Even if I did not though off using a number "a(n)" of alternation. Thank you again

— Arthur MILCHIOR

More generally, the Immerman-Szelepscényi method gives that $ALTSPACE(a(n),s(n))$ is in $NSPACE(a(n)s(n))$ . The proof idea is: Calculate the number of reachable configurations in the first alternation; from each such reachable state, calculate the number of reachable configurations in the second alternation; and iterate $a(n)$ times backtracking in the "obvious" fashion. Each iteration uses only $s(n)$ space to store the counts of reachable configurations.

Combining this with Savitch's theorem gives the following results:

Corollary: $ALTSPACE(\log n, \log n)$ is in $SPACE((\log n)^4)$ . More generally, a language computable in polylogarithmic space with polylogarithmically many alternations is computable in deterministic polylogarithmic time.

Corollary: Similarly, a language computable in polynomial space with polynomially many alternations is in deterministic polynomial space.

I don't know any references for these $ALTSPACE$ results or whether they have been noticed before, or even for the notation. Leonard Berman[B] used the notation " $STA$ " for "Space/Time/Alternation" classes.

[B] L. Berman, "The Complexity of Logical Theories", Theoretical Computer Science 11 (1980) 71-77.

— Sam Buss
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