La corrispondenza massima M con la condizione G [M] è libera da 2K_2

C'è qualcosa in letteratura vicino al seguente problema:

Dato un grafico bipartito con bipartizione bilanciata { U , W } , esiste una corrispondenza perfetta M in G tale che per ogni 2 bordi u 1 w 1 , u 2 w 2 ∈ M , c'è un bordo u 1 w 2 o bordo u 2 w 1 (o entrambi) in G ?$G(V,E)$$\{U,W\}$$M$$G$$u_1w_1, u_2w_2\in M$$u_1w_2$$u_2w_1$$G$

In altre parole, esiste una corrispondenza perfetta tale che il sottografo indotto G [ M ] è privo di 2 K 2 . (Con bilanciamento del bipartition, intendevo | U | = | W | .)$M$$G[M]$$2K_2$$|U|=|W|$

La condizione extra è qualcosa di simile a un estremo opposto di quello utilizzato nel problema di abbinamento indotto. Un altro forse correlato è il problema di trovare la corrispondenza massima tra le dimensioni nel grafico bipartito G in modo tale che la contrazione dei bordi in M minimizzi il numero di bordi rimasti nel grafico.$M$$G$$M$

Ho controllato l'elenco dei problemi relativi alla corrispondenza forniti da Plummer in Matching e vertice: quanto sono "difficili"? senza successo.

PS: Questo problema è un caso speciale di questo problema decisionale: - Per un dato , esiste una corrispondenza massima M di un grafico bipartito G tale che G [ M ] è 2 K 2 -free e | M | > k . Se il grafico di input è bilanciato bipartito e k = | U | , otteniamo il problema sopra riportato.$k\in\mathbb{N}$$M$$G$$G[M]$$2K_2$$|M|>k$$k=|U|$

Grazie.

Sorpresa! (per me).
Questo tipo di abbinamento è già studiato in letteratura. Sono chiamati abbinamenti collegati .

Furono introdotti da Plummer, Stiebitz e Toft nel loro studio sulla congettura di Hadwiger. Vedi il capitolo "Connected Matchings" di Cameron nel libro "Combinatorial Optimization - Eureka, You Shrink!"

Lo stato delle corrispondenze connesse nei grafici bipartiti (non necessariamente bilanciato) è aperto per quanto ne sappia ( aggiornerò ). La versione ponderata del problema è NP-completa per i grafici bipartiti. Il problema è il tempo polinomiale risolvibile per i grafici bipartiti cordali.

Aggiornamento: il problema è NP-completo per grafici bipartiti bilanciati (cioè, il problema esatto posto nella domanda). Ciò è dimostrato nel documento " Capacità multitasking: risultati di durezza e costruzioni migliorate " di Alon et al. Riferiscono anche che trovare la dimensione di una corrispondenza più grande connessa è difficile approssimare entro un fattore di $n^{1-\epsilon}$ meno che NP = co-RP.

Note aggiunte in precedenza (conservate per le persone interessate):
" Corrispondenze connesse in grafici bipartiti cordali " di Jobson et al. (doi: https://doi.org/10.1016/j.disopt.2014.06.003 ) e " Corrispondenze connesse in famiglie speciali di grafici " di Caragianis (tesi) sono due riferimenti notevoli.

C'è un altro modo di porre questa domanda. Esiste una perfetta corrispondenza di un grafico bipartito bilanciato G tale che ogni coppia di spigoli in M si trova esattamente ad una distanza 1 l'una dall'altra in G ? (La distanza tra i bordi e ed e ' è la lunghezza di un percorso più breve da un vertice di e a un vertice di e ' ).$M$$G$$M$$G$
$e$$e’$$e$$e’$

A causa di ciò, la condizione aggiuntiva si riduce alla ricerca di un sottoinsieme di vertici dal grafico a linee di G che sono a coppie esattamente a una distanza esattamente 2. Quindi il problema di trovare un set di dimensioni massime di vertici a distanza esattamente 2 da ciascuno l'altro è un problema candidato (essere vicino al problema in questione). Nel recente articolo sugli aspetti algoritmici del subcolore forte (di MA Shalu, S. Vijayakumar, S. Devi Yamini e TP Sandhya), definiscono questo problema un insieme forte.$L(G)$$G$

È noto che il problema del set forte è NP-completo in alcune classi di grafici. Non conosco il suo stato sui grafici a linee dei grafici bipartiti. Il documento afferma che è NP completo su grafici bipartiti. Il nostro interesse qui sarà nella classe dei grafici a linee dei grafici bipartiti.