Controesempio di algoritmi a flusso massimo con pesi irrazionali?

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È noto che Ford-Fulkerson o Edmonds-Karp con l'euristica pipa grassa (due algoritmi per il flusso massimo) non devono arrestarsi se alcuni dei pesi sono irrazionali. In effetti, possono persino convergere sul valore sbagliato ! Tuttavia, tutti gli esempi che ho trovato in letteratura [riferimenti sotto, più riferimenti ivi] usano solo un singolo valore irrazionale: il rapporto aureo coniugato e altri valori che sono o razionali o multipli razionali di. La mia domanda principale è: $\phi' = (\sqrt{5}-1)/2$ $\phi'$

Domanda generale: cosa succede con altri valori irrazionali?

Ad esempio (ma non sentirti come se dovessi rispondere a tutti questi post per pubblicare: troverei interessante una risposta a qualcuno, o ad altre domande che rientrano nella domanda generale sopra):

Dato qualche , si può costruire (o addirittura mostrare l'esistenza di) tali controesempi? $\alpha \in \mathbb{R}$

Più debolmente: sono noti esempi che usano un valore irrazionale sostanzialmente diverso da ? Cioè, c'è qualche che non è un multiplo razionale di (o più fortemente non in ) e tale che vi sono controesempi a Ford-Fulkerson e / o Edmonds-Karp in cui si trovano tutti i pesi ? $\phi'$ $\alpha$ $\phi'$ $\mathbb{Q}(\phi')$ $\mathbb{Q}(\alpha)$

Nell'altra direzione, esiste una irrazionale tale che Ford-Fulkerson (resp., Edmonds-Karp) si ferma con il valore corretto su tutti i grafici i cui pesi sono tutti da ? (O più fortemente, da ?) $\alpha$ $\mathbb{Q} \cup \{q\alpha : q \in \mathbb{Q}\}$ $\mathbb{Q}(\alpha)$

In tutti i casi, voglio assumere qualcosa di simile al modello RAM reale, in modo che l'aritmetica esatta e il confronto esatto dei numeri reali vengano effettuati in tempo costante.

(Esistono altri algoritmi a flusso massimo che sono noti per funzionare in tempi fortemente polinomiali, anche con pesi reali arbitrari, motivo per cui questo tipo di domanda potrebbe non essere stato ulteriormente esplorato. Ma avendo appena insegnato questi algoritmi nella mia classe di algoritmi di laurea , Sono ancora curioso di questo.)

Riferimenti

Un controesempio minimo per Ford-Fulkerson è stato dato da Zwick TCS 1999
Un controesempio per Edmonds-Karp è stato dato da Queyranne o Queyranne Math. Oper. Res. 1980 , anche se non so se quello è minimo.
Questi possono essere trovati sia negli appunti delle lezioni di Jeff Erickson , con il primo nella Sezione 23.5 e il secondo come Esercizio 14 della Conferenza 23.

ds.algorithms graph-algorithms max-flow

— Joshua Grochow
fonte

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$r$

$n=6$ $m=8$
in cui sette archi hanno una capacità intera,
$r$
e su cui Ford-Fulkerson potrebbe non riuscire a terminare.

Questo è stato dimostrato nel documento

Toshihiko Takahashi:
"La rete più semplice e più piccola su cui la procedura di flusso massimo Ford-Fulkerson potrebbe non riuscire a terminare"
Journal of Information Processing 24, pp 390-394, 2016.
Link: https: //www.jstage.jst.go. jp / articolo / ipsjjip / 24/2 / 24_390 / _article

— Gamow
fonte

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Grazie per la domanda che ho trovato non molto naturale ma comunque divertente.

Ho esaminato la parte Ford-Ferkulson e penso di aver trovato un grafico che è un contro-esempio e ha solo un bordo con capacità irrazionale α (il grafico può funzionare per qualsiasi α).

Ecco un PDF che riassume il mio tentativo: https://louis.jachiet.com/tmp/jQwbrkSMLNU_draft.pdf (scusate se per il momento è un po 'laconico, ma non esitate a fare domande)

Ovviamente la Ford-Felkurson ci consente di scegliere il percorso di ampliamento come desideriamo ... Non sono sicuro che questo sarebbe possibile per Edmond-Karp.

— Louis
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