Rappresentazione circuitale succinta di grafici

La classe di complessità PPAD (ad es. Il calcolo di vari equilibri di Nash) può essere definita come l'insieme dei problemi di ricerca totali in termini di tempo di trasmissione riducibili a FINE LINEA :

FINE DELLA LINEA : dati i circuiti S e P con n bit di ingresso e n bit di uscita tali che P (0 ⁿ ) = 0 ⁿ ! = S (0 ⁿ ) , trova un ingresso x in {0,1} ⁿ tale che P (S (x)) ! = X o S (P (x)) ! = X ! = 0 ⁿ .

Circuiti o algoritmi come S e P definiscono implicitamente un grafico esponenzialmente grande che viene rivelato solo su una base di query (per mantenere il problema in PSPACE !), Ad esempio l'articolo di Papadimitrou .

Tuttavia, non capisco come si possa progettare un circuito che abiliti grafici arbitrari (se esiste una struttura sistematica al grafico, sembra molto più facile trovare il circuito). Ad esempio, come si potrebbe progettare un circuito di dimensioni polinomiali che rappresenta una linea diretta esponenzialmente lunga, con un'etichetta tutto-0 per il vertice di origine e etichette binarie assegnate casualmente a tutti gli altri vertici? Ciò sembra essere implicito nei documenti relativi al PPAD .

Il più vicino a cui sono arrivato da una ricerca online è il documento di Galperin / Widgerson , ma il circuito descritto lì prende due etichette di vertici e restituisce una risposta booleana a "Questi vertici sono adiacenti?"

Quindi, come progetteresti un circuito di dimensioni polinomiali di un grafico di dimensioni esponenziali che accetta un input n -bit e genera l' etichetta n -bit del suo predecessore o successore, rispettivamente? O addirittura, qualcuno conosce una risorsa che lo spiega bene?

La tua domanda sembra porsi: come si rappresentano i grafici arbitrari (o persino i grafici dei percorsi arbitrari) come un circuito di dimensioni polinomiali? La risposta è no. Il numero di diversi grafici di percorso con 2 ⁿ vertici è (2 ⁿ ) !, molto più del numero di circuiti diversi con n ^c gate (esponenziale in n ^c log n). Quindi quasi tutti i grafici con così tanti vertici non possono essere rappresentati da un circuito succinto.

Pertanto, come si evince, in un certo senso solo i grafici con un alto grado di struttura possono essere rappresentati in questo modo. Questo è ciò che rende interessanti le classi di complessità come PPAD: nonostante la struttura che conosciamo i grafici di input per il problema EOL, non sembriamo sapere come sfruttare la struttura per risolvere il problema in modo efficiente.

Se sto fraintendendo la tua domanda e ti stai davvero chiedendo: come si fa a realizzare un circuito che soddisfi anche i requisiti di input per EOL, anche per un grafico molto altamente strutturato: prova il grafico del percorso che collega il vertice x (considerato come un numero in binario) a x-1 e x + 1, con estremità a zero e a 2 ^ n-1. O se vuoi qualcosa di meno banale che sembra più difficile risolvere EOL per: lascia che E e D siano le funzioni di crittografia e decrittazione per una chiave fissa nel tuo sistema di crittografia preferito, lascia che i vicini di x nel grafico siano E (x) e D (x) e lasciare che le estremità della linea siano 0 e D (0).

Poiché la maggior parte dei grafici su n vertici sono Kolmogorov casuali, non possono essere descritti da un circuito (o qualsiasi altro programma) che è significativamente più piccolo del grafico stesso. (Se non sai cosa significhi Kolmogorov-random, puoi sostanzialmente prendere la conclusione della frase precedente come sua definizione. Quindi affidati al fatto che quasi tutte le stringhe sono Kolmogorov-random.)

Anche se non ho familiarità con le opere che hai citato, la mia ipotesi è che parlano sempre di grafici descritti da circuiti. In altre parole, concentrandosi sui circuiti, stanno essenzialmente limitando la loro attenzione alla classe di grafici che hanno circuiti succinti (la cui dimensione è logaritmica nella dimensione del grafico).