Ci sono casi difficili di 3-SAT quando le clausole possono usare solo letterali che sono "vicini" tra loro?

Lascia che le variabili siano . La distanza tra due variabili è definita come d ( x a , x b ) = | a - b | . La distanza tra due letterali è la distanza tra le due variabili corrispondenti.$x_1 , x_2 , x_3 ... x_n$$d(x_a , x_b) = |a-b|$

Supponiamo di avere un'istanza 3-SAT tale che per ogni clausola abbiamo d ( x a , x b ) ≤ N ∧ d ( x a , x c ) ≤ N ∧ d ( x b , x c ) ≤ N per un certo valore fisso N .$(x_a , x_b, x_c)$$d(x_a , x_b) \leq N \wedge d(x_a , x_c) \leq N \wedge d(x_b , x_c) \leq N$$N$

Concettualmente puoi immaginarlo poiché tutti i letterali si trovano fisicamente su una linea e tutte le clausole non sono in grado di raggiungere oltre una certa lunghezza per motivi fisici.

Dato questo vincolo, ci sono casi difficili di 3-SAT? Quanto piccolo posso creare il quartiere e trovare ancora casi difficili? Cosa succede se consento ad alcune clausole di violare il vincolo?

Intendo dire che un risolutore euristico ricorrerebbe al caso peggiore.

No. Se l'istanza 3-SAT ha clausole , è possibile verificare la soddisfacibilità nel tempo O ( m 2 N ) . Poiché N è una costante fissa, si tratta di un algoritmo a tempo polinomiale che risolve tutte le istanze del problema.$m$$O(m 2^N)$$N$

L'algoritmo funziona in fasi. Lascia che φ i denoti la formula costituita dalle clausole che utilizzano solo variabili di x 1 , ... , x i . Sia S i ⊆ { 0 , 1 } n denota l'insieme di assegnazioni a x i - N , x i - N + 1 , ... , x i che può essere esteso a un incarico soddisfacente per φ i . Si noti che dato $m$$\varphi_i$$x_1,\dots,x_i$$S_i \subseteq \{0,1\}^n$$x_{i-N},x_{i-N+1},\dots,x_i$$\varphi_i$ , possiamo calcolare S i nel tempoO( 2 N ): per ogni( x i - N - 1 ,…, x i - 1 )∈ S i - 1 , proviamo entrambe le possibilità per x i e controlliamo se soddisfa tutte le clausole di φ i che contengono la variabile x i ; in tal caso, aggiungiamo( x i - N ,$S_{i-1}$$S_i$$O(2^N)$$(x_{i-N-1},\dots,x_{i-1}) \in S_{i-1}$$x_i$$\varphi_i$$x_i$ a S i . Nella I ° fase, calcoliamo S i . Una volta terminati tutti glistadi m , l'istanza 3-SAT è soddisfacente se e solo se S m ≠ ∅ . Ogni fase richiede tempo O ( 2 N ) e ci sono m fasi, quindi il tempo di esecuzione totale è O ( m 2 N ) . Questo è polinomiale nella dimensione dell'input e costituisce quindi un algoritmo del tempo polinomiale.$(x_{i-N},\dots,x_{i})$$S_i$$i$$S_i$$m$$S_m \ne \emptyset$$O(2^N)$$m$$O(m 2^N)$

$t$$O(m 2^{(t+1)N})$$t$

Il grafico dell'incidente di una formula SAT è un grafico bipartito che ha un vertice per ogni clausola e ogni variabile. Aggiungiamo bordi tra una clausola e tutte le sue variabili. Se il grafico dell'incidente ha delimitato la larghezza dell'albero, allora possiamo decidere la formula SAT in P, in realtà possiamo fare molto di più. Il grafico dell'incidente è molto limitato. Ad esempio, è un grafico della larghezza del percorso limitata, quindi è polinomiale risolvibile nel tempo. Per il risultato strutturale ben noto, ad esempio, dare un'occhiata a: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X07004106 .