Numeri naturali non comparabili

Il "nome del gioco numero più grande" chiede a due giocatori di scrivere un numero in segreto, e il vincitore è la persona che ha scritto il numero più grande. Il gioco generalmente consente ai giocatori di annotare le funzioni valutate in un determinato momento, quindi anche $2^{2^{2^{2}}}$ sarebbe una cosa accettabile da scrivere.

Il valore della funzione Busy Beaver, $BB(x)$ , non può essere determinato (in ZFC o alcun sistema assiomatico coerente ragionevole) per valori elevati di $x$ . In particolare, $BB(10^4)$ non può essere determinato secondo questo documento . Tuttavia, ciò non significa che non possiamo confrontare i valori della funzione Busy Beaver. Ad esempio, possiamo dimostrare che $BB(x)$ è strettamente monotonico .

Supponiamo che consentiamo ai giocatori di scrivere espressioni che coinvolgono composizioni di funzioni elementari, numeri naturali e la funzione Busy Beaver. Esistono due espressioni che i due giocatori possono scrivere in modo tale che possiamo dimostrare in ZFC che è impossibile determinare il vincitore in ZFC (supponendo che ZFC sia coerente)?

EDIT: Originariamente questa domanda diceva "... combinazioni arbitrarie di funzioni calcolabili, numeri naturali e la funzione Busy Beaver."

Se lasciamo che $f(x)$ assuma il valore di $3$ se $BB(x) >$ [qualcosa di empiamente grande e inesprimibile su questo sito Web] e $7$ se non lo è, allora $f(10^4)$ e $6$ sono incomparabili.

Questo non mi soddisfa, soprattutto perché $f$ non è una funzione ragionevole per qualcuno da usare in questo gioco. Tuttavia, non vedo come esprimere la mia intuizione al riguardo, quindi ho limitato la domanda per evitare funzioni a tratti.

computability undecidability

— Stella Biderman
fonte

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

B B (x)

$BB(x)$

B B (x)

$BB(x)$

Secondo la risposta in questo post: cstheory.stackexchange.com/questions/9652/… , sembra che BB sia davvero strettamente monotono

— Avi Tal

L'arte di giocare a questi giochi è di piegare le regole, quindi non credo che contare che una funzione sia irragionevole. Se dovessimo giocare, ti colpirei sicuramente con la funzione più disgustosa che mi viene in mente (e sono un logico).

— Andrej Bauer,

B (m) > n

$B(m)>n$

m

$m$

n

$n$

B

$B$

$B$ $\Phi$ $\iff$ $\Phi$ $B$ $\neg$ $\iff$ $\Phi$

$\Phi$ $B(m_i)=n_i$ $1\le i\le k$

\sum_{i = 1}^{k} (B (m_{i}) - n_{i})^{2} > 0

$\sum_{i=1}^k (B(m_i)-n_i)^2>0$

\begin{matrix} (*) & \sum_{i = 1}^{k} B (m_{i})^{2} + n_{i}^{2} > \sum_{i = 1}^{k} 2 B (m_{i}) n_{i} \end{matrix}

$\sum_{i=1}^k B(m_i)^2+n_i^2>\sum_{i=1}^k 2B(m_i)n_i\tag{*}$

$m_i$ $n_i$

— Bjørn Kjos-Hanssen
fonte

n, m

$n,m$

n_{0} = B (7910)

$n_0=B(7910)$

B (7910) \leq n_{0}

$B(7910)\le n_0$