Il problema di decidere se un CNF monotono implica un DNF monotono

Considera il seguente problema decisionale

Input : un CNF monotono $\Phi$ e un DNF monotono $\Psi$ .

Domanda : $\Phi \to \Psi$ una tautologia?

Sicuramente è possibile risolvere questo problema in $O(2^n \cdot \mathrm{poly}(l))$ -time, dove $n$ è il numero di variabili in $\Phi \to \Psi$ e $l$ è la lunghezza di ingresso. D'altra parte, questo problema è completo. Inoltre, una riduzione che stabilisce CONP-completezza mostra anche che, se non riesce SETH, non c'è $O(2^{(1/2 - \varepsilon)n} \mathrm{poly}(l))$ algoritmo -time per questo problema (questo vale per qualsiasi positivo $\varepsilon$ ). Ecco questa riduzione. Sia $A$ un CNF (non monotono) e sia $x$ sua variabile. Sostituisci ogni occorrenza positiva di $x$ con $y$ e ogni occorrenza negativa di $x$ per $z$ . Fai lo stesso per ogni variabile. Lascia che il CNF monotono risultante sia $\Phi$ . È facile vedere che $A$ è soddisfacente se $\Phi \to yz \lor \ldots$ non è una tautologia. Questa riduzione fa esplodere il numero di variabili di un fattore 2, che implica $2^{n/2}$ (Basato su SETH) limite inferiore di cui sopra.

Quindi c'è un divario tra $2^{n/2}$ e $2^n$ tempo. La mia domanda è se si conosce un algoritmo migliore o una migliore riduzione da SETH?

Solo due osservazioni apparentemente correlate al problema:

un problema inverso del fatto che un DNF monotono implichi un CNF monotono è banalmente risolvibile nel tempo polinomiale.
interessante, il problema di decidere se $\Phi$ e $\Psi$ calcolano la stessa funzione può essere risolto in tempo quasi-polinomiale causa Fredman e Khachiyan (sulla complessità della dualizzazione delle Forme Monotone Disgiuntiva normali, Journal of Algorithms 21 (1996), n. 3 , pagg. 618–628, doi: 10.1006 / jagm.1996.0062 )

exp-time-algorithms boolean-formulas fine-grained

— Sasha Kozachinskiy
fonte

Supponendo SETH, il problema non è risolvibile nel tempo per qualsiasi . $O\bigl(2^{(1-\epsilon)n}\mathrm{poly}(l)\bigr)$ $\epsilon>0$

Innanzitutto, lasciatemi dimostrare che ciò è vero per il problema più generale in cui e possono essere formule monotone arbitrarie. In questo caso, esiste una riduzione ctt del tempo multiplo da TAUT al problema che preserva il numero di variabili. Sia denota la funzione di soglia $\Phi$ $\Psi$ $T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})$ Utilizzando la rete Ajtai-Komlos-Szemerédi smistamento, possono essere scritti da un monotono formula polinomiale-size, costruibile in tempo

T_{t}^{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) = 1 ⟺ | {i < n : x_{i} = 1} | \geq t .

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})=1\iff\bigl|\{i<n:x_i=1\}\bigr|\ge t.$

T_{t}^{n}

$T^n_t$

p o l y (n)

$\mathrm{poly}(n)$

Data una formula booleana , possiamo usare le regole di De Morgan per scriverlo nella forma dove è monotono. Quindi $\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

ϕ^{'} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, \neg x_{0}, \dots, \neg x_{n - 1}),

$\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},\neg x_0,\dots,\neg x_{n-1}),$

ϕ^{'}

$\phi'$

ϕ (x_{0}, \dots, x_{n - 1})

$\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$ è una tautologia se e solo se le implicazioni monotone

sono valide per ogni

, dove

T_{t}^{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) \to ϕ^{'} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, N_{0}, \dots, N_{n - 1})

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})\to\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

t \leq n

$t\le n$

N_{i} = T_{t}^{n - 1} (x_{0}, \dots, x_{i - 1}, x_{i + 1}, \dots, x_{n - 1}) .

$N_i=T^{n-1}_t(x_0,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_{n-1}).$

Per l'implicazione da sinistra a destra, lascia sia un'assegnazione soddisfino , cioè, con almeno quelli. Esiste con esattamente . Quindi , quindi implica $e$ $T^n_t$ $t$ $e'\le e$ $t$ $e'\models N_i\leftrightarrow\neg x_i$ $e'\models\phi$ . Poiché questa è una formula monotona, abbiamo anche . L'implicazione da destra a sinistra è simile. $e'\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$ $e\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

Ora, vorrei tornare al problema originale. Mostrerò quanto segue: se il problema è risolvibile nel tempo , allora per qualsiasi , -DNF-TAUT (o due volte, -SAT) è risolvibile nel tempo $2^{\delta n}\mathrm{poly}(l)$ $k$ $k$ $k$ . Ciò implica $2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}\mathrm{poly}(l)$ se SETH è valido. $\delta\ge1$

Quindi, supponiamo che ci venga dato un -DNF dove per ogni . Dividiamo le variabili in blocchi di dimensioni $k$

ϕ = \underset{i < l}{⋁} (\underset{j \in A_{i}}{⋀} x_{j} \land \underset{j \in B_{i}}{⋀} \neg x_{j}),

$\phi=\bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}\neg x_j\Bigr),$

| A_{i} | + | B_{i} | \leq k

$|A_i|+|B_i|\le k$

i

$i$

n

$n$

n^{'} = n / b

$n'=n/b$

ciascuno. Dallo stesso argomento di cui sopra,

è una tautologia se e solo se le implicazioni

b \approx \sqrt{k^{- 1} n \log n}

$b\approx\sqrt{k^{-1}n\log n}$

ϕ

$\phi$

sono validi per ogni

-tupla

, dove per ogni

, definiamo

\begin{matrix} (*) & \underset{u < n^{'}}{⋀} T_{t_{u}}^{B} (X_{B u}, ..., X_{B (u + 1) - 1}) \to \underset{io < l}{⋁} (\underset{j \in {UN}_{io}}{⋀} X_{j} \land \underset{j \in B_{io}}{⋀} N_{j}) \end{matrix}

$\tag{$*$}\bigwedge_{u<n'}T^b_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{b(u+1)-1})\to \bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}N_j\Bigr)$

n^{'}

$n'$

t_{0}, \dots, t_{n^{'} - 1} \in [0, b]

$t_0,\dots,t_{n'-1}\in[0,b]$

j = b u + j^{'}

$j=bu+j'$

0 \leq j^{'} < b

$0\le j'<b$

Possiamo scrivere

come monotona CNF di dimensione

, quindi le LHS di

è un monotono CNF di dimensione

. Sul lato destro, possiamo scrivere

N_{j} = T_{t_{u}}^{B - 1} (X_{B u}, ..., X_{B u + j^{'} - 1}, X_{B u + j^{'} + 1}, ..., X_{B (u + 1) - 1}) .

$N_j=T^{b-1}_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{bu+j'-1},x_{bu+j'+1},\dots,x_{b(u+1)-1}).$

T_{t}^{b}

$T^b_{t}$

O (2^{b})

$O(2^b)$

(*)

$(*)$

O (n 2^{b})

$O(n2^b)$

N_{j}

$N_j$

O (2^{b})

$O(2^b)$

O (2^{k b})

$O(2^{kb})$

O (l 2^{k b})

$O(l2^{kb})$

(*)

$(*)$

O (l 2^{O (k b)})

$O(l2^{O(kb)})$

n

$n$

O (2^{δ n + O (k b)} l^{O (1)})

$O(2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)})$ . Ripetiamo questo controllo per tutti

b^{n^{'}}

$b^{n'}$ scelte di

\vec{t}

$\vec t$ , quindi il tempo totale è

O ((B + 1)^{n / B} 2^{δ n + O (K B)} l^{O (1)}) = O (2^{δ n + O (\sqrt{K n \log n})} l^{O (1)})

$O\bigl((b+1)^{n/b}2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)}\bigr)=O\bigl(2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}l^{O(1)}\bigr)$ come affermato.

Otteniamo una connessione più stretta con (S) ETH considerando la versione del problema a larghezza limitata: per qualsiasi $k\ge3$ , permettere $k$ -MonImp indica la limitazione del problema in cui $\Phi$ è un $k$ -CNF e $\Psi$ è un $k$ -DNF. Il (S) ETH riguarda le costanti

\begin{aligned} s_{k} & = inf {δ : k - S A T \in D T I M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty} & = sup {s_{k} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{SAT}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s_\infty&=\sup\{s_k:k\ge3\}. \end{align*}$ Likewise, let us define

\begin{aligned} s_{k}^{'} & = inf {δ : k - M o n I m p \in D T I M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty}^{'} & = sup {s_{k}^{'} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s'_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{MonImp}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s'_\infty&=\sup\{s'_k:k\ge3\}. \end{align*}$ Clearly,

s_{3}^{'} \leq s_{4}^{'} \leq \dots \leq s_{\infty}^{'} \leq 1

$s'_3\le s'_4\le\dots\le s'_\infty\le1$ as in the SAT case. We also have

s_{k}^{'} \leq s_{k},

$s'_k\le s_k,$ and the double-variable reduction in the question shows

s_{k} \leq 2 s_{k}^{'} .

$s_k\le2s'_k.$ Now, if we apply the construction above with constant block-size

b

$b$ , we obtain

s_{k} \leq s_{b k}^{'} + \frac{\log (b + 1)}{b},

$s_k\le s'_{bk}+\frac{\log(b+1)}b,$ hence

s_{\infty} = s_{\infty}^{'} .

$s_\infty=s'_\infty.$ In particular, SETH is equivalent to

s_{\infty}^{'} = 1

$s'_\infty=1$ , and ETH is equivalent to

s_{k}^{'} > 0

$s'_k>0$ for all

k \geq 3

$k\ge3$ .

— Emil Jeřábek supports Monica
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Thank you for your answer! I'm curious whether it is possible to make

Φ

$\Phi$ and

Ψ

$\Psi$ constant-depth in this construction? Namely, I'm not aware whether subexponential-size constant-depth monotone Boolean formulas (or even non-monotone circuits) are known for

T_{k}^{n}

$T^n_k$ (in particular for Majority)? Of course there is a

2^{n^{Ω (1 / d)}}

$2^{n^{\Omega(1/d)}}$ lower bound for depth-

d

$d$ , but, say,

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$ size would be OK.

— Sasha Kozachinskiy

T_{k}^{n}

$T^n_k$ , and in general anything computable by polynomial-size formulas (i.e., in NC^1), has depth-

d

$d$ circuits of size

2^{n^{O (1 / d)}}

$2^{n^{O(1/d)}}$ . See e.g. cstheory.stackexchange.com/q/14700 . I will have to think if you can make them monotone, but it sounds plausible.

— Emil Jeřábek supports Monica

OK. First, the generic construction works fine in the monotone setting: if a function has poly-size monotone formulas, it has depth-

d

$d$ monotone circuits of size

2^{n^{O (1 / d)}} p o l y (n)

$2^{n^{O(1/d)}}\mathrm{poly}(n)$ for any

d \geq 2

$d\ge2$ . Second, for

T_{k}^{n}

$T^n_k$ specifically, it is easy to construct monotone depth-

3

$3$ circuits of size

2^{O (\sqrt{n \log n})}

$2^{O(\sqrt{n\log n})}$ by splitting the input into blocks of size

Θ (\sqrt{n \log n})

$\Theta(\sqrt{n\log n})$ .

— Emil Jeřábek supports Monica

Actually, pushing this idea a little bit more, it does provide an answer to the original question: assuming SETH, the lower bound holds already for

Φ

$\Phi$ monotone CNF and

Ψ

$\Psi$ monotone DNF. I will write it up later.

— Emil Jeřábek supports Monica

I would guess that you can divide all the variables into about

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ blocks

x^{1}, \dots x^{\sqrt{n}}

$x^1, \ldots x^{\sqrt{n}}$ and then write

T_{k_{1}}^{\sqrt{n}} (x^{1}) \land \dots \land T_{k_{\sqrt{n}}}^{\sqrt{n}} (x^{\sqrt{n}}) \to ϕ^{'}

$T^{\sqrt{n}}_{k_1}(x^1)\land \ldots \land T^{\sqrt{n}}_{k_\sqrt{n}}(x^{\sqrt{n}}) \to \phi^\prime$ for every

k_{1} + \dots + k_{\sqrt{n}} \leq n

$k_1 + \ldots + k_{\sqrt{n}} \le n$ . You can use

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$ -size CNF for every threshold function. But then on a right hand side you will have not DNF but a depth-3 formula...

— Sasha Kozachinskiy