Quanto può essere piccolo un circuito booleano a strati per una funzione con complessità del circuito

Considera una funzione calcolata da un circuito booleano con ingressi di dimensione sulla base (con indegree 2 per la cancelli). $f$ $C$ $n$ $s(n) = \mathsf{poly}(n)$ $\{\mathsf{XOR},\mathsf{AND},\mathsf{NOT}\}$ $\mathsf{XOR},\mathsf{AND}$

Un circuito booleano è stratificato se può essere disposto in strati ( essendo la profondità del circuito) di porte in modo tale che qualsiasi bordo tra due porte collega gli strati adiacenti. $d$ $d$

Dato che ha un circuito booleano di dimensione , cosa possiamo dire della dimensione di un circuito a strati che calcola ? C'è un limite superiore banale: aggiungendo nodi fittizi a su ogni strato attraversato da un bordo, otteniamo un circuito a strati di dimensioni al massimo . Ma possiamo migliorare in generale (ad es. o ) o per una classe di circuiti interessante? $f$ $s$ $f$ $C$ $O(s^2)$ $O(s\cdot \log s)$ $O(s)$

Sfondo. Questa domanda deriva da recenti risultati nella crittografia che mostrano come calcolare saldamente strato circuito booleano di dimensione con comunicazione (es o ; Sto cercando di capire quanto possa essere concreta questa limitazione ai circuiti booleani a strati, sia per i circuiti generali che per i circuiti "naturali". Tuttavia, non ho trovato molto sui circuiti a strati in letteratura; sarebbero anche ben accetti i suggerimenti appropriati. $s$ $o(s)$ $s/\log s$ $s/\log\log s)$

circuit-complexity circuits

— Geoffroy Couteau
fonte

Ecco un esempio di un circuito che sembra difficile da convertire in un circuito a strati senza un significativo ingrandimento delle dimensioni. Definisci

per essere una funzione che può essere calcolata nella dimensione

. Definisci

f : {0, 1}^{n - 1} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^{n-1} \to \{0,1\}$

u

$u$

, e lascia che

sia

iterazioni di

. Quindi

ha dimensione

. Sembra difficile costruire un circuito a strati con dimensioni inferiori a

. Quindi, se

, forse dovremmo aspettarci un divario tra la dimensione di un circuito contro la dimensione di un circuito a strati. Non una prova, solo un esempio suggestivo per guidare forse l'intuizione.

g (x_{1}, \dots, x_{n}) = (x_{2}, \dots, x_{n}, x_{1} \oplus f (x_{2}, \dots, x_{n}))

$g(x_1,\dots,x_n) = (x_2,\dots,x_n,x_1 \oplus f(x_2,\dots,x_n))$

C

$C$

t

$t$

g

$g$

C

$C$

O (t u)

$O(tu)$

Θ (n t)

$\Theta(nt)$

u = o (n)

$u=o(n)$

— DW

Per quanto ricordo, per i circuiti a strati il limite inferiore più noto è della forma

. È particolarmente facile dimostrare un

-a--

funzione. Prendi, ad esempio, una mappa lineare

dove

ha zeri solo sulla diagonale principale. Quindi deve avere almeno

gate su ogni layer e il numero di layer è almeno

. Si noti che questa funzione può essere facilmente calcolata da un circuito normale di dimensione

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

n

$n$

n

$n$

A x

$Ax$

A \in {0, 1}^{n \times n}

$A \in \{0,1\}^{n \times n}$

n

$n$

\log_{2} n

$\log_2 n$

. Per le funzioni a uscita singola, è anche possibile dimostrare lo stesso limite inferiore, ma non ricordo l'argomento.

O (n)

$O(n)$

— Alexander S. Kulikov,

Grazie mille per i commenti. @ AlexanderS.Kulikov, il tuo argomento è folklore o hai qualche puntatore a lavori su circuiti a strati? L'

ha senso - sarei stato molto sorpreso da qualcosa di più piccolo - ma

l'unico limite superiore noto?

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Geoffroy Couteau,

Immagino sia un folklore, sì. Non sono sicuro di avere la domanda su

limite superiore. Potresti dare un'occhiata al seguente documento: cs.utexas.edu/~panni/sizedepth.pdf

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Alexander S. Kulikov,

Penso che non conosciamo una trasformazione migliore di

in generale. Si noti che un circuito di dimensioni

e profondità

può essere trasformato in un circuito a strati di dimensioni al massimo

. (Che nel peggiore dei casi ci dà un circuito di dimensione

.) Volevo solo sottolineare che se potessimo dimostrare un limite inferiore di

sulla dimensione di un circuito a strati, questo sarebbe darci un limite inferiore superlineare sulla dimensione dei circuiti di profondità di registro per questa funzione. Questa domanda rimane aperta per oltre 40 anni.

O (s^{2})

$O(s^2)$

s

$s$

d

$d$

d s

$ds$

O (s^{2})

$O(s^2)$

ω (n \log n)

$\omega(n\log{n})$

— Alex Golovnev,

Per quanto ne so, sono state studiate tre classi di circuiti a strati. In tutte queste definizioni gli archi sono consentiti solo tra due strati adiacenti.

Un circuito è chiamato sincrono ( Harper 1977 ) se tutte le porte sono disposte in strati e gli ingressi devono essere a livello 0. (Una definizione equivalente: per qualsiasi gate $g$ , tutti i percorsi dagli ingressi a $g$ hanno la stessa lunghezza.)
Un circuito è localmente sincrono ( Belaga 1984 ) se ogni input si verifica esattamente una volta ma a un livello arbitrario.
Un circuito è stratificato ( Gál, Jang 2010 ) se porte e ingressi sono disposti in strati, gli ingressi possono avvenire più volte in strati diversi. (Una definizione equivalente: per qualsiasi gate $g$ uscita gate $o$ , tutti i percorsi diretti da $g$ a $o$ hanno la stessa lunghezza.)

È facile vedere che le tre classi sono elencate dal più debole al più forte (e la classe dei circuiti senza restrizioni è ancora più forte).

Per quanto riguarda la dimensione di un circuito a strati che calcola un circuito senza restrizioni di dimensione $s$ , sappiamo quanto segue:

$s$ $s^2$
$\omega(s\log{s})$ $s$ $d$ $O(sd)$ $f$ $\omega(n\log{n})$ $f$ $O(\log{n})$ $O(n)$
Esistono funzioni esplicite

$\Omega(n\log{n})$ $O(n)$

$\Omega(n\log{n})$ $O(n)$

$n$

$f\colon\{0,1\}^n\to\{0,1\}^n$ $i$ $i$ $O(n)$ $\log{n}$ $n$ $n$ $f$ $\Omega(n\log{n})$ $n-1$ $\Omega(\log{n})$ $n$ $n$

— Alex Golovnev
fonte