Dimensioni PCP asintotiche più conosciute / 3-SAT

Quali sono i limiti superiori asintotici più noti sulle dimensioni delle prove probabilisticamente verificabili? Idealmente, sto cercando un sondaggio contemporaneo su questa ampia domanda, ma se non ce n'è nessuno, sono particolarmente interessato all'ineguagliabilità del 3-SAT.

Sia 7/8 + ε-3-SAT essere 3-SAT con la promessa che se la frazione 7/8 + ε delle clausole è soddisfacente, allora l'istanza è soddisfacente. Quali sono le riduzioni più note di 3-SAT con $n$ clausole a 7/8 + ε-3-SAT? Ad esempio, c'è una riduzione usando le clausole $O(n \log n)$ ? ( $O(n)$ clausole è un problema aperto.) Una riduzione di NC quasilineare uniforme? Qual è la dipendenza da , anche quando ? Esiste una riduzione della dimensione lineare nota (dipendente da ) da (1-ε) da -3-SAT a 7/8 + ε-3-SAT e, in caso contrario, abbiamo limiti migliori per (1-ε) -3 -SAT? Anche una risposta parziale sarebbe interessante. $ε$ $ε→0$ $ε$

Inoltre, anche se forse renderebbe la domanda troppo ampia, dovrei menzionare che un altro aspetto importante qui sono i fattori costanti, che a causa di tecniche come il codice lungo sono comunemente incommensurabilmente grandi.

— Dmytro Taranovsky
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Lo stato dell'arte dei PCP che producono una riduzione a 3-SAT (anche per la sottocorrente ) sono quelli di Dana Moshkovitz e Ran Raz , che avere lunghezza . Non so, tuttavia, se qualcuno ha provato a calcolare l'esatta dipendenza della lunghezza da o la complessità computazionale della riduzione. Il loro principale risultato tecnico è stato semplificato in seguito da Irit Dinur e Prahladh Harsha . $(\frac{7}{8}+\varepsilon)$ $\varepsilon$ $n^{1 + o(1)}$ $\varepsilon$

Se sei interessato a PCP brevi con un numero costante di query che non forniscono necessariamente riduzioni ottimali della durezza di approssimazione (dette anche "PCP ad alto errore"), il risultato all'avanguardia è rappresentato da PCP di lunghezza grazie a Eli Ben-Sasson e Madhu Sudan e al suo miglioramento da parte di Dinur . Ancora una volta, non so se qualcuno qual è l'esatta complessità del calcolo della riduzione. $n\cdot \mathrm{poly}\log n$

— O Meir
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Grazie; entrambe le parti sono state utili. Raccolgo che PCP di dimensioni quasilineari con query O (1) e l'errore costante rimane un problema aperto.

— Dmytro Taranovsky,

No, questo in realtà segue il lavoro di Ben-Sasson e del Sudan. È un problema aperto ottenere tali PCP con errore sub-costante.

— O Meir,

Ho guardato ancora un po 'e Dinur 2007 estende il documento che hai citato nel secondo paragrafo per mostrare . Se ho capito bene, ciò implica una riduzione di 3-SAT ad alcune dimensioni quasilineari 3-SAT, ma il risultato che hai citato nel primo paragrafo non è ridondante perché ci dà 7/8 e altro.

S A T \in P C P_{\frac{1}{2}, 1} [\log_{2} n + O (\log \log n), O (1)]

$SAT ∈ PCP_{\frac{1}{2},1}[\log_2 n + O(\log \log n), O(1)]$

1 - ε

$1-ε$

7 / 8 + ε

$7/8+ε$

— Dmytro Taranovsky,

Sì, è corretto. Ho dimenticato di menzionare il risultato di Dinur, lo aggiungerò alla risposta.

— O Meir,