È il complemento di {www | ...} senza contesto?

È noto che il complemento di è privo di contesto. Ma per quanto riguarda il complemento di ? $\{ ww \mid w\in \Sigma^*\}$ $\{ www \mid w\in \Sigma^*\}$

fl.formal-languages context-free

— domotorp
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Ho scoperto che questo è il Teorema 4 in P. Dömösi, S. Horváth, M. Ito, L. Kászonyi, M. Katsura: linguaggi formali costituiti da parole primitive. link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-57163-9_15

— domotorp

Risposte:

Ancora CFL, credo, con un adattamento della dimostrazione classica. Ecco uno schizzo.

Considera , che è il complemento di , con le parole di lunghezza non mod rimosse. $L = \{xyz : |x|=|y|=|z| \land (x \neq y \lor y \neq z)\}$ $\{www\}$ $0$ $3$

Lascia . Chiaramente, è CFL, dal momento che si può intuire una posizione e considerare che finisce dopo. Mostriamo che . $L' = \{uv : |u| \equiv_3 |v| \equiv_3 0 \land u_{2|u|/3} \neq v_{|v|/3}\}$ $L'$ $p$ $u$ $p/2$ $L = L'$

$L \subseteq L'$ : Sia . Supponiamo che ci sia una tale che . Quindi scrivi per i primi primi caratteri di , e per il resto. Naturalmente, . Che cos'è ? Primo: $w = xyz \in L$ $p$ $x_p \neq y_p$ $u$ $3p/2$ $w$ $v$ $u_{2|u|/3} = x_p$ $v_{|v|/3}$

| v | / 3 = (| w | - 3 p / 2) / 3 = | w | / 3 - p / 2.

$|v|/3 = (|w| - 3p/2)/3 = |w|/3 - p/2.$

Quindi, in , questa è la posizione: o, in altre parole, posizione in . Questo dimostra che . $w$

| u | + | v | / 3 = 3 p / 2 + | w | / 3 - p / 2 = | w | / 3 + p,

$|u|+|v|/3 = 3p/2 + |w|/3 - p/2 = |w|/3 + p,$

p

$p$

y

$y$

u_{2 | u | / 3} = x_{p} \neq y_{p} = v_{| v | / 3}

$u_{2|u|/3} = x_p \neq y_p = v_{|v|/3}$

Se , allora lascia che sia i primi caratteri di , in modo che sia ; è il resto di . Quindi: quindi allo stesso modo, . $y_p \neq z_p$ $u$ ${3\over2}(|w|/3 + p)$ $w$ $u_{2|u|/3}$ $y_p$ $v$ $w$

| u | + | v | / 3 = 2 | w | / 3 + p

$|u| + |v|/3 = 2|w|/3 + p$

v_{| v | / 3} = z_{p}

$v_{|v|/3} = z_p$

$L' \subseteq L$ : Invertire il processo precedente. Lascia . Scrivi . Quindi: Quindi e (poiché se è del formato , esso deve contenere quel per tutti ). $w = uv \in L'$ $p = 2|u|/3$ $p + | w | / 3 = 2 | u | / 3 + | u v | / 3 = | u | + | v | / 3.$ $p+|w|/3 = 2|u|/3+|uv|/3 = |u| + |v|/3.$ $w_p = u_{2|u|/3} \neq v_{|v|/3} = w_{p + |w|/3}$ $w \in L$ $w$ $xxx$ $w_p = w_{p+|w|/3}$ $p$

— Michaël Cadilhac
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Wow, incredibile! Non pretendo di aver seguito ogni dettaglio del tuo argomento, come se non vedessi cosa intendi per l'ultima riga ('Per l'ultimo bit'), o perché non separi il caso quando , ma la soluzione alla fine funziona. Riassumo il trucco principale come . Il trucco simile funziona anche per il complemento di qualsiasi . Mi chiedo se è privo di contesto o meno.

| w | / 3 < p / 2

$|w|/3<p/2$

3 a + 3 b = 2 a + (b - a) + 2 a + 2 b

$3a+3b=2a+(b-a)+2a+2b$

L_{r} = {w^{r}}

$L_r=\{w^r\}$

L^{'} = {x y z : | x | = | y | = | z | \land (x \neq y)}

$L' = \{xyz : |x|=|y|=|z| \land (x \neq y)\}$

— domotorp,

@domotorp: Saluti! Va bene, "l'ultimo pezzo" non era necessario, grazie! Per quanto riguarda "il caso in cui ", non sono sicuro di dove lo intendi. Ho dimenticato qualcosa? Per quanto riguarda la tua , mi chiedevo lo stesso facendo questa "prova"! Non sono ancora sicuro :)

| w | / 3 < p / 2

$|w|/3 < p/2$

L^{'}

$L'$

— Michaël Cadilhac,

Oh, mio cattivo, regge sempre!

p / 2 \leq | w | / 3

$p/2\le |w|/3$

— domotorp,

Probabilmente non è un problema, ma può essere strano, quindi dovresti gestire i casi Quando è dispari.

p

$p$

| u | = 3 p / 2 (?)

$|u| = 3p/2 (?)$

p

$p$

— Marzio De Biasi,

@MarzioDeBiasi: Sì, è proprio per questo che è uno schizzo :-)

— Michaël Cadilhac

Ecco il modo in cui penso a risolvere questo problema, con un PDA. Secondo me, è intuitivamente più chiaro.

$x$ $www$ $|x| \not\equiv 0$ $a$ $b$ $|w|$

Usiamo il solito trucco di usare lo stack per mantenere un intero avendo un nuovo simbolo "bottom-of-stack" , memorizzando il valore assolutocome numero di contatori nello stack e sgn ( ) in base allo stato del PDA. In questo modo possiamo aumentare o diminuire eseguendo l'operazione appropriata. $t$ $Z$ $|t|$ $t$ $t$

L'obiettivo è utilizzare il non determinismo per indovinare le posizioni dei due simboli che si stanno confrontando e utilizzare lo stack per registrare , dove è la distanza tra questi due simboli. $t := |x|-3d$ $d$

Realizziamo ciò come segue: incrementa per ogni simbolo visto fino a quando non viene scelto il primo simbolo indovinato e registra nello stato. Per ogni successivo simbolo di input, fino a quando decidi di aver visto , diminuisci di ( per la lunghezza di input e per la distanza). Indovina la posizione del secondo simbolo e registra se . Continuare a incrementare per i simboli di input successivi. Accetta se (rilevabile da in alto) e . $t$ $a$ $a$ $b$ $t$ $2$ $1$ $-3$ $b$ $a \not= b$ $t$ $t = 0$ $Z$ $a \not= b$

La cosa bella di questo è che dovrebbe essere completamente chiaro come estenderlo a poteri arbitrari.

— Jeffrey Shallit
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Anzi, molto pulito!

— domotorp,

Ah, davvero molto più bello :-)

— Michaël Cadilhac

Solo una prospettiva diversa ("orientata alla grammatica") per dimostrare che il complemento di è CF per qualsiasi fisso che usa le proprietà di chiusura. $\{ w^k \}$ $k$

Prima nota che nel complemento di c'è sempre tale che . Ci concentriamo su e iniziamo con una semplice grammatica CF che genera: $\{ w^k \}$ $i$ $w_i \neq w_{i+1}$ $w_1 \neq w_2$

$L = \{\underbrace{a00...0}_{w_1} \; \underbrace{b00...0}_{w_2} ... \underbrace{000...0}_{w_k} \mid |w_i|=n \} = \{ a 0^{n-1} \, b 0^{n(k-1)-1} \}$

Ad esempio per , abbiamo , $k = 3$ $L = \{ a\,b\,0, a0\,b0\,00, a00\,b00\,000, ...\}$ $G_L = \{ S \to ab0 | aX00, X \to 0X00 | 0b0 \}$

Quindi applicare la chiusura sotto omomorfismo inverso e unione :

Primo omomorfismo: $\varphi(1) \to a, \varphi(0) \to b, \varphi(1)\to 0, \varphi(0) \to 0$

Secondo omomorfismo: $\varphi'(0) \to a, \varphi'(1) \to b, \varphi'(1)\to 0, \varphi'(0) \to 0$

$L' = \varphi^{-1}(L) \cup \varphi'^{-1}(L)$ è ancora libero dal contesto

Applicare la chiusura con turni ciclici su per ottenere l'insieme di stringhe di lunghezza non della forma : $L'$ $kn$ $w^k$

$L'' = Shift(L') = \{ u \mid u \neq w^k \land |u| = kn \}$ .

Infine aggiungi l'insieme regolare di stringhe la cui lunghezza non è divisibile per per ottenere esattamente il complemento di : $k$ $\{w^k\}$

$L'' \cup \{\{0,1\}^n\mid n \bmod k \neq 0\} = \{ u \mid u \neq w^k\}$

— Marzio De Biasi
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