È {ww '| HamDist (w, w ')> 1} senza contesto?

Dopo aver letto la domanda recente "è il complemento di $\{ www \mid ...\}$ Context-free?" ; Ho ricordato un problema simile che non sono riuscito a confutare:

È $L = \{ ww' \mid w,w' \in \{0,1\}^* \land |w|=|w'| \land HamDist(w,w')>1 \}$ senza contesto?

Qui richiediamo che le due stringhe differiscano in almeno due posizioni (la distanza di Hamming deve essere maggiore di $1$ ).

È privo di contesto se richiediamo che $HamDist(w,w')\geq 1$ (ovvero che le due stringhe devono essere semplicemente diverse).

Ho il sospetto che la lingua non sia senza contesto: se la interseciamo con il normale $0^*10^*10^*10^*$ otteniamo casi in cui un PDA dovrebbe "ricordare" due posizioni in ordine inverso dopo aver raggiunto la metà della stringa.

Aggiornamento: se interseciamo $L$ con il normale $R = \{ 0^*10^*10^*10^* \}$ otteniamo un linguaggio privo di contesto come mostrato da domotorp nella sua risposta; un $L \cap R'$ leggermente più complesso con $R' = \{ 0^*10^*10^*10^*10^*10^* \}$ (un altro $1$ per "tenere traccia" di) suggerisce ancora che $L$ non dovrebbe essere privo di contesto.

L'intersezione con $R=\{0^*10^*10^*10^*\mid$ parole di lunghezza pari $\}$ è senza contesto, perché un PDA può ricordare due posizioni, in un certo senso. In ogni caso, si deve prima vedere che cosa questo linguaggio $L$ è. Il suo complemento è $R\setminus L=\{0^a10^b10^c10^d\mid b=n/2 \vee c=n/2 \vee a+d=n/2\}$ . Pertanto, $L=\{0^a10^b10^c10^d\mid b\ne n/2 \wedge c\ne n/2 \wedge a+d\ne n/2\}$ . Possiamo riscriverlo come $L=\{0^a10^b10^c10^d\mid b> n/2 \vee c> n/2 \vee a+d> n/2 \vee b,c,a+d<n/2\}$ .

I primi $3$ casi possono essere facilmente verificati, così come il quarto.

$b>n/2$ : inizia a mettere nello stack fino al primo 1, quindi inizia a saltar fuori dallo stack fino a quando non è vuoto. Dopo che è vuoto, inizia nuovamente a mettere in pila fino a raggiungere il secondo 1. Da quel momento in poi fai scoppiare la pila.

$c>n/2$ : uguale.

$a+d>n/2$ : inizia a mettere nello stack fino al primo 1, quindi inizia a saltar fuori dallo stack fino a quando non è vuoto. Dopo che è vuoto, inizia nuovamente a mettere in pila fino a raggiungere il terzo 1. Da quel momento in poi fai scoppiare la pila.

$b,c,a+d<n/2$ : inizia a mettere nello stack fino al primo 1, quindi inizia a saltar fuori dallo stack fino a quando non è vuoto. Dopo che è vuoto, inizia nuovamente a mettere in pila fino a raggiungere$a+n/2$ (indovinato in modo non deterministico, da qualche parte tra il secondo e il terzo 1). Da quel momento in poi pop lo stack.