Lingue che non possiamo (dis) dimostrare di essere senza contesto

Sto cercando linguaggi che "probabilmente non sono senza contesto" ma non siamo in grado di (dis) dimostrarlo usando tecniche standard conosciute.

Esiste un recente sondaggio sull'argomento o una sezione problematica aperta di una recente conferenza?

Probabilmente non ci sono molte lingue che non sono note per essere CF, quindi se ne conosci una puoi anche pubblicarla come risposta.

Gli esempi che ho trovato sono:

• il ben noto linguaggio delle parole primitive (c'è un bel libro recente su di esso: Lingue senza contesto e parole primitive )$Q = \{ w \mid w \neq u^i (|u| > 1) \}$
• le rappresentazioni Base-k del co-dominio di un polinomio (vedi domanda " Rappresentazioni Base-k del co-dominio di un polinomio - è privo di contesto? " su cstheory, che forse è stato risolto da domotorp, vedi il suo prestampa )

Nota : come mostrato da Aryeh nella sua risposta, puoi creare un'intera classe di tali lingue se "colleghi" una lingua a una congettura sconosciuta sulla (non) finitezza o (non) vacuità di alcuni insiemi (ad esempio non può essere espresso come una somma di due numeri primi ). Non sono abbastanza interessato a tali esempi.$L_{Goldbach} = \{ 1^{2n} \mid 2n$$\}$

Un altro aspetto positivo è il complemento dell'insieme di parole chiave contigue (dette anche "fattori") della sequenza Thue-Morse . Per dare un po 'di contesto, Jean Berstel ha dimostrato che il complemento dell'insieme di prefissi della parola Thu-Morse è privo di contesto (e in realtà qualcosa di più generale di così). Ma il risultato corrispondente per le parole chiave è ancora aperto.$S$${\bf t} = 0110100110010110 \cdots$T$T$

Che ne dici della lingua $L_{TP}$ dei numeri primi gemelli? Vale a dire, tutte le coppie di numeri naturali $(p,p')$ (rappresentate, diciamo, in unario), tali che $p,p'$ sono sia primi che $p'=p+2$ ? Se la congettura dei numeri primi gemelli è vera, allora $L_{TP}$ non è senza contesto; altrimenti, è finito.

Modifica: lasciami fare uno schizzo di prova veloce che la congettura di numeri primi gemelli implica che $L_{TP}$ non è privo di contesto. Associato qualsiasi lingua $L$ sua sequenza lunghezza $0\le a_1\le a_2\le\ldots$ , dove il numero intero $\ell$ appare nella sequenza sse esiste una parola di lunghezza $\ell$ in $L$ . È una conseguenza del lemma (i) di pompaggio che per $L$ che sono regolari o CFL, la sequenza di lunghezza soddisfa la proprietà delle differenze limitate: esiste un $R>0$ tale che $a_{n+1}-a_n\le R$per tutto$n$. È un fatto facile e ben noto nella teoria dei numeri che i numeri primi non hanno differenze limitate. Infine, qualsiasi sottosequenza infinita di una sequenza che viola la proprietà delle differenze limitate stessa deve violarla.