L'insieme di tutte le parole primitive è una lingua principale?

Una parola è chiamata primitiva , se non ci sono parole e modo che . L'insieme di tutte le parole primitive su un alfabeto \ Sigma è una lingua ben nota. WLOG possiamo scegliere \ Sigma = \ {a, b \} .$w$$v$$k > 1$$w = v^k$$Q$$\Sigma$$\Sigma = \{ a,b \}$

Una lingua $L$ è il primo , se per ogni lingua $A$ e $B$ con $L = A \cdot B$ abbiamo $A = \{\epsilon\}$ o $B = \{ \epsilon \}$ .

Q prime è?

Con l'aiuto di un solutore SAT ho potuto dimostrare che non abbiamo $\{a,b\} \subseteq A$ o $\{a,b\} \subseteq B$ , altrimenti altrimenti $\{ ababa, babab \} \subset Q$ non può essere fattorizzato in $A$ e $B$ , ma da allora sono rimasti bloccati.

La risposta è si. Supponiamo di avere una fattorizzazione $Q = A\cdot B$ .

Una semplice osservazione è che $A$ e $B$ devono essere disgiunti (poiché per $w\in A\cap B$ otteniamo $w^2\in Q$ ). In particolare, solo uno di $A,B$ può contenere $\epsilon$ . Possiamo supporre WLOG (dal momento che l'altro caso è del tutto simmetrica) che $\epsilon\in B$ . Poi dato $a$ e $b$ non possono essere presi in considerazione fattori non vuote, dobbiamo avere $a,b\in A$ .

Quindi otteniamo che (e, completamente analogamente, ) per tutti per induzione su :$a^mb^n\in A$$b^ma^n\in A$$m,n>0$$m$

Per , dal momento che , dobbiamo avere con . Poiché , deve essere per alcuni . Ma se , allora poiché otteniamo , contraddizione. Così , e . $m=1$$ab^n\in Q$$ab^n = uv$$u\in A, v\in B$$u\neq\epsilon$$v$$b^k$$k\le n$$k>0$$b\in A$$b^{1+k}\in Q$$v=\epsilon$$ab^n\in A$

Per il passo induttivo, poiché abbiamo con . Poiché di nuovo , abbiamo per alcuni , o per alcuni . Ma nel primo caso, è già in dall'ipotesi di induzione, quindi , contraddizione. In quest'ultimo caso, si deve avere (cioè ) dato da otteniamo . Quindi .$a^{m+1}b^n\in Q$$a^{m+1}b^n = uv$$u\in A, v\in B$$u\neq\epsilon$$v = a^kb^n$$0<k<m+1$$v=b^k$$k<n$$v$$A$$v^2\in Q$$k=0$$v=\epsilon$$b\in A$$b^{1+k}\in Q$$u=a^{m+1}b^n\in A$

Consideriamo ora il caso generale di parole primitive con alternanze tra e , cioè o è , (per ), o (per ); possiamo dimostrare che sono tutti in usando l'induzione su . Ciò che abbiamo fatto finora ha riguardato i casi di base e .$r$$a$$b$$w$$a^{m_1}b^{n_1}\ldots a^{m_s}b^{n_s}$$b^{m_1}a^{n_1}\ldots b^{m_s}a^{n_s}$$r=2s-1$$a^{m_1}b^{n_1}\ldots a^{m_{s+1}}$$b^{m_1}a^{n_1}\ldots b^{m_{s+1}}$$r=2s$$A$$r$$r=0$$r=1$

Per , usiamo un'altra induzione su , che funziona in modo molto simile a quella per sopra:$r>1$$m_1$$r=1$

Se , allora con e poiché , ha meno di alternanze. Quindi (o la sua radice nel caso stesso non sia primitivo) è in dall'ipotesi di induzione su per una contraddizione come sopra a meno che . Quindi, .$m_1=1$$w=uv$$u\in A, v\in B$$u\neq\epsilon$$v$$r$$v$$v$$A$$r$$v=\epsilon$$w=u\in A$

Se , in qualsiasi fattorizzazione con , ha meno alternanze (e la sua radice è in meno che dall'ipotesi di induzione su ) o un primo blocco più corto (e la sua radice è in A a meno che dall'ipotesi di induzione su ). In entrambi i casi abbiamo ottenere che dobbiamo avere , cioè .$m_1>1$$w=uv$$u\neq\epsilon$$v$$A$$v=\epsilon$$r$$v=\epsilon$$m_1$$v=\epsilon$$w=u\in A$

Il caso di è piuttosto complicato. Le cose ovvie da notare sono che in qualsiasi decomposizione , sia che devono essere sottoinsiemi di con . Inoltre, deve essere contenuta in .$Q' := Q\cup\{\epsilon\}$$Q = A\cdot B$$A$$B$$Q'$$A\cap B = \{\epsilon\}$$a,b$$A\cup B$

Con un po 'di lavoro extra, si può dimostrare che e devono essere nello stesso sottoinsieme. In caso contrario, assumere WLOG che e . Diciamo che ha una corretta fattorizzazione se con e . Abbiamo due sottocasi (simmetriche) a seconda di dove$a$$b$$a\in A$$b\in B$$w\in Q'$$w=uv$$u\in A\setminus\{\epsilon\}$$v\in B\setminus\{\epsilon\}$$ba$ va (deve essere in $A$ o $B$ poiché non ha una fattorizzazione corretta).

• Se $ba\in A$ , poi $aba$ non ha fattorizzazione corretta dal $ba,a\notin B$ . Dal momento che $aba\in A$ implicherebbe $abab\in A\cdot B$ , otteniamo $aba\in B$ . Di conseguenza, $bab$ non è né in $A$ (il che implicherebbe $bababa\in A\cdot B$ ) né in$B$ (che implicherebbe$abab\in A\cdot B$ ). Ora considera la parola$babab$ . Non ha una fattorizzazione corretta poiché$bab\notin A\cup B$ e$abab,baba$ non sono primitivi. Se$babab\in A$ , allora poiché$aba\in B$otteniamo $(ba)^4\in A\cdot B$ ; se $babab\in B$ , poi dal momento che $a\in A$ otteniamo $(ab)^3\in A\cdot B$ . Quindi non c'è modo di avere $babab\in A\cdot B$ , contraddizione.
• Il caso $ba\in B$ è completamente simmetrico. In breve: $bab$ non ha una fattorizzazione corretta e non può essere in $B$ , quindi deve essere in $A$ ; quindi $aba$ non può essere in $A$ o $B$ ; pertanto $ababa$ non ha una fattorizzazione adeguata ma non può neppure essere in contraddizione con $A$ o $B$

Al momento non sono sicuro di come procedere oltre questo punto; sarebbe interessante vedere se l'argomento sopra può essere sistematicamente generalizzato.