Quali problemi SAT sono facili?

27

Quali sono le "regioni facili" per la soddisfacibilità? In altre parole, condizioni sufficienti per un risolutore SAT per essere in grado di trovare un compito soddisfacente, supponendo che esista.

Un esempio è quando ogni clausola condivide le variabili con poche altre clausole, a causa di prove costruttive di LLL, altri risultati in tal senso?

Esiste una letteratura considerevole su regioni facili per la propagazione delle credenze, c'è qualcosa in tal senso per la soddisfazione?

cc.complexity-theory sat

— Yaroslav Bulatov
fonte

2

sei interessato anche alla transizione casuale della fase SAT?

— Suresh Venkat,

Che aspetto ha la condizione sufficiente? Peter Shor ha menzionato in un altro post che l'istanza SAT deve possedere una "struttura casuale" per rendere rilevante il rapporto tra clausole e variabili. Mi chiedo se questo è qualcosa che può essere codificato in condizioni sufficienti

— Yaroslav Bulatov,

33

Immagino tu conosca il classico risultato di Schaefer di STOC'78, ma per ogni evenienza.

10,1145 / 800.133,804,35 mila

Schaefer ha dimostrato che se SAT è parametrizzato da una serie di relazioni consentite in ogni caso, allora ci sono solo 6 casi trattabili: 2-SAT (ovvero ogni clausola è binaria), Horn-SAT, dual-Horn-SAT, affine-SAT ( soluzioni alle equazioni lineari in GF (2)), 0-valido (relazioni soddisfatte dall'assegnazione all-0) e 1-valido (relazioni soddisfatte dall'assegnazione all-1).

— Standa Zivny
fonte

3

C'è un documento più recente che raffina questo risultato: La complessità dei problemi di soddisfacibilità: "Raffinare il teorema di Schaefer" Eric Allender, Michael Bauland, Neil Immerman, Henning Schnoor e Heribert Vollmer

— Vinicius dos Santos

1

Grazie, ecco il doi: dx.doi.org/10.1016/j.jcss.2008.11.001

— Standa Zivny,

Si noti che si tratta di problemi di soddisfazione dei vincoli e non di SAT (sebbene possano essere riscritti come istanze SAT, ma tecnicamente SAT significa CSP con predicati OR).

— MCH

14

Non sono sicuro se questo è quello che stai cercando, ma c'è una letteratura considerevole sulla transizione di fase 3-SAT.

Monasson, Zecchina, Kirkpatrcik, Selman e Troyansky avevano un documento in natura che parla della transizione di fase del k-SAT casuale. Hanno usato una parametrizzazione del rapporto tra clausole e variabili. Per 3-SAT casuali, hanno trovato numericamente che il punto di transizione è di circa 4,3. Al di sopra di questo punto le istanze 3-SAT casuali sono troppo limitate e quasi sicuramente insatenabili e al di sotto di questo punto i problemi sono limitati e soddisfacenti (con alta probabilità). Mertens, Mezard e Zecchina utilizzano le procedure del metodo della cavità per stimare il punto di transizione di fase con un grado di precisione più elevato.

Lontano dal punto critico, gli algoritmi "stupidi" funzionano bene per casi soddisfacenti (walk sat, ecc.). Da quello che ho capito, i tempi di esecuzione del risolutore deterministico crescono in modo esponenziale alla transizione di fase o in prossimità di essa (vedi qui per ulteriori discussioni?)

Un cugino stretto della propagazione delle credenze, Braunstein, Mezard e Zecchina hanno introdotto la propagazione dell'indagine che è stata descritta per risolvere casi 3-SAT soddisfacenti in milioni di variabili, anche estremamente vicine alla transizione di fase. Mezard ha tenuto una lezione qui su spin occhiali (la teoria che ha usato nell'analisi delle transizioni di fase casuali NP-Complete) e Maneva ha una lezione qui sulla propagazione del rilievo.

Dall'altra parte, sembra ancora che i nostri migliori risolutori impieghino una quantità esponenziale di tempo per dimostrare l'insoddisfazione. Vedi qui , qui e qui per prove / discussioni sulla natura esponenziale di alcuni metodi comuni per dimostrare l'insoddisfazione (procedure di Davis-Putnam e metodi di risoluzione).

Bisogna stare molto attenti alle affermazioni di "facilità" o "durezza" per problemi casuali NP-Complete. La visualizzazione di un problema NP-Complete in una transizione di fase non fornisce alcuna garanzia su dove si trovino i problemi difficili o se ce ne siano addirittura. Ad esempio, il problema del ciclo Hamiltoniain sui grafici casuali Erdos-Renyi è facilmente dimostrabile anche al punto critico di transizione. Il problema della partizione numerica non sembra avere alcun algoritmo che lo risolva bene nell'intervallo di probabilità 1 o 0, per non parlare della soglia critica. Da quanto ho capito, i problemi 3-SAT casuali hanno algoritmi che funzionano bene per casi soddisfacenti quasi alla soglia critica (propagazione del sondaggio, walk sat, ecc.) Ma nessun algoritmo efficiente sopra la soglia critica per dimostrare insoddisfazione.

— user834
fonte

Mi chiedo se quei risultati "casuali di k-SAT" vengano trasferiti alle istanze SAT della vita reale, in altre parole se il rapporto tra clausole e variabili è ancora un utile indicatore di durezza

— Yaroslav Bulatov,

1

@Yaroslav, dalla mia esperienza, no. Molti problemi del mondo reale (anche le riduzioni) hanno (o introducono) tanta struttura in modo da distruggere la casualità per la quale molti risolutori sono stati ottimizzati. Sembra che ad un certo punto potremmo essere in grado di spiegare in qualche modo quella struttura ed essere in grado di concentrarci solo sulla porzione di casualità (o "l'essenza" del problema casuale), ma non vedo alcun modo generale di farlo né conosco davvero alcuni esempi che utilizzano questa strategia?

— user834

R (F)

$R(F)$

F

$F$

r \in [0, 1]

$r \in [0,1]$

F

$F$

5

Ci sono molte condizioni sufficienti. In un certo senso, gran parte del CS teorico è stato dedicato alla raccolta di queste condizioni: tracciabilità dei parametri fissi, 2-SAT, 3-SAT casuali di densità diverse, ecc.

— Peter Boothe
fonte

2

È vero, si potrebbe prendere qualsiasi problema X facile da risolvere e dire che "qualsiasi formula corrispondente al problema X è facile". Immagino che sto cercando condizioni sufficienti che siano più efficienti nel riassumere la regione facile di "tutti i problemi noti in P", più come quello del costruttivo Lovma locale Lemma

— Yaroslav Bulatov,

3

non c'è molto riconoscimento diffuso di questo concetto finora in letteratura, ma il grafico della clausola del problema SAT (il grafico con un nodo per clausola e i nodi sono collegati se le clausole condividono variabili), così come altri grafici correlati della rappresentazione SAT, sembra avere molti indizi di base su quanto sarà dura l'istanza in media.

il grafico della clausola può essere analizzato tramite tutti i tipi di algoritmi teorici dei grafi, è una misura apparentemente naturale della "struttura" e con forti connessioni alla misurazione / stima della durezza, e sembra che la ricerca su questa struttura e le sue implicazioni sia ancora agli inizi stages. non è inconcepibile che la ricerca dei punti di transizione, un modo tradizionale e ben studiato per affrontare questa domanda, possa eventualmente essere colmata in questa struttura del grafico della clausola (in una certa misura già presente). in altre parole, il punto di transizione in SAT può essere visto esistere "a causa della" struttura del grafico della clausola.

ecco un eccellente riferimento in questo senso, una tesi di dottorato di Herwig, ce ne sono molti altri.

[1] Decomposizione dei problemi di soddisfacibilità o Utilizzo dei grafici per ottenere una migliore comprensione dei problemi di soddisfacibilità , Herwig 2006 (83pp)

— VZN
fonte

questo è il grafico delle dipendenze quando si applicano il lemma e le varianti locali lovasz alla soddisfacibilità. in tal senso, il grafico della clausola è stato esaminato molto . Shearer caratterizza i grafici per i quali vale il lemma locale e Kolipaka e Szegedy hanno reso costruttivo il risultato di Schaefer. Quando non sai molto, per favore non dedurre che nessuno lo sa!

— Sasho Nikolov,

la scomposizione degli shaefers in alcune classi trattabili è menzionata nella risposta di Zivny, ma questa analisi del grafico della clausola è relativamente più recente, più profonda, più sfumata e più con un sapore empirico. per quanto riguarda le citazioni che menzioni, non sembra essere menzionato spesso nei documenti / ricerche sulla durezza SAT ... ci sono linee di ricerca multiple / parallele intrecciate ...

— vzn

Schaefer era un errore di battitura, intendevo Shearer. LLL e le sue varianti sono uno strumento principale nel delimitare le istanze difficili di k-SAT, una ricerca su Google rivelerà tonnellate di riferimenti. Il teorema di Shearer mostra quali grafici delle clausole garantiscono che qualsiasi istanza SAT con quel grafico sia necessariamente soddisfacente. Guarda questo sondaggio per collegamenti dettagliati a soglie di durezza, difficoltà a costruire istanze difficili, algoritmi, ecc. Disco.ethz.ch/lectures/fs11/seminar/paper/barbara-3.pdf

— Nikolov,

1

un pensiero generale: ogni volta che dici qualcosa è terra incognita c'è una forte possibilità che sia terra incognita per te . in ogni caso questo tipo di commento è inutile a meno che tu non sia un esperto affermato e pubblicato nella zona. sarebbe meglio se limitassi le tue risposte a ciò che sai e lasciassi commenti su ciò che pensi che nessuno sappia.

— Sasho Nikolov,

1

LLL è uno strumento per analizzare il SAT, inventato nel 1975 con forse alcuni perfezionamenti da allora. è una ricetta per sufficienti casi facili o difficili ma non necessari . da allora esistono altri approcci che colmano sempre più il divario in modi nuovi, cioè lo estendono e lo bypassano. devi confondere questa risposta con qualcos'altro, non c'è alcun uso del termine "terra incognita" nella domanda sopra. e ti suggerisco di limitarti alle risposte scritte effettive e non speculare su ciò che gli altri sanno o non sanno =)

— vzn

1

È facile spostare tutte le istanze vicino al punto "transizione" lontano dal punto "transizione" come si desidera. Il movimento comporta uno sforzo polinomiale tempo / spazio.

Se le istanze lontane dal punto di "transizione" sono più facili da risolvere, quelle vicino al punto di transizione devono essere ugualmente facili da risolvere. (Trasformazioni polinomiali e tutto il resto.)

— GHR
fonte

puoi elaborare o hai un riferimento per questo?

— dal

1

$\kappa$

trova un'apparente struttura di auto-somiglianza frattale di istanze difficili con il parametro di vincolo tale che come un solutore DP (LL) durante la ricerca tende a trovare sottoproblemi con lo stesso vincolo critico, indipendentemente dalla variabile scelta accanto alla diramazione. c'è qualche ulteriore analisi della struttura frattale nelle istanze SAT (come la dimensione di Hausdorff delle formule SAT e la connessione alla durezza) in es. [2,3]

un'altra linea di indagine in qualche modo correlata qui è la relazione tra piccoli grafici mondiali e la struttura (dura) di SAT, ad esempio [4,5]

$\stackrel{?}{=}$

[1] Il limite del coltello della costrizione di Toby Walsh 1998

[3] Visualizzazione della struttura interna delle istanze SAT (relazione preliminare) Sinz

[4] Cerca in un piccolo mondo di Walsh 1999

[5] Modellazione di problemi SAT più realistici da parte di Slater 2002

— VZN
fonte

3

A proposito, è DPLL, non DP (LL). Inoltre, c'è un lavoro significativamente più recente sulla transizione di fase in SAT (vedi il lavoro di Achlioptas, per esempio).

— Vijay D,

esiste un algoritmo DP che precede DPLL con un comportamento simile. l'altra risposta di user834 menzionava principalmente la ricerca del punto di transizione SAT con molti riferimenti ma questa risposta enfatizza un angolo diverso (ma correlato)

— vzn

1

Sono a conoscenza di questi algoritmi. Stavo solo sottolineando la convenzione tipografica standard, che è quella di scrivere DP, o DPLL, o DPLL (T) o DPLL (Join), per il caso del primo ordine senza quantificatori. Nessuno scrive DP (LL) e aggiunge confusione con DPLL (T) e DPLL (Join)

— Vijay D

DP (LL) è ciò che si intendeva come DP + DPLL

— vzn